Exercício 2.10. Encontre o valor constante de q e o menor valor da constante M para os quais o problema
ll ut=K ux x+q & se 0<x<1 e t>0 ux(0, t)=1, ux(1, t)=3 & se t >= 0 u(x, 0)=x(1-2 x)+M & se 0 <= x <= 1
possui uma solução de estado estacionário e encontre esta solução.

Passo 1

O enunciado pede uma solução de estado estacionário u(x,t)=U(x) para a PDE
ut=K,uxx+q, 0<x<1,
com condições de contorno
U'(0)=1, U'(1)=3,
e condição inicial com uma constante M. Para existir U(x) temos de satisfazer a compatibilidade de Neumann e depois resolver a ODE resultante.

Passo 2

Para um estado estacionário ut=0 e escrevemos
0 = K,U''(x)+q,
isto é,
K,U''(x) = -,q
Integramos essa ODE duas vezes, impondo depois as condições de contorno em U'(x).

Passo 3

Da equação K,U''=-q segue
U''(x)=-qK
Integramos uma vez:
U'(x)=-qK,x + A
Impondo U'(0)=1
A=1,
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U'(x)=-qK,x + 1
Para também satisfazer U'(1)=3 precisamos
-qKcdot1 + 1 = 3 ;Longrightarrow; -qK = 2 ;Longrightarrow; q = -2K

Passo 4

Com q=-2K a derivada é
U'(x)= -l(-2Kr)xK + 1 = 2x+1,
que de fato em x=1 vale 2cdot1+1=3. Agora integramos de novo:
U(x)=integral(2x+1),dx = x^2 + x + B,
onde B é a constante de integração livre.

Passo 5

O enunciado também menciona uma constante M na condição inicial, mas a constante de integração B não está presa por nenhuma condição de contorno em valores de U. Podemos escolher a menor constante B que quisermos. Convém tomar
B=0
para obter a menor (isto é, mais baixa em todo o domínio) solução de estado estacionário.

Resposta

q = -2K
menor M (constante de integração) = 0
solução estacionária
U(x)=x^2+x

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