Determine se o método de separação de variáveis pode ser usado:
\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+(x+y) \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0

Passo 1

O enunciado pede: determinar se o método de separação de variáveis pode ser usado para a equação
\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+(x+y)\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0.
Informações dadas:
  • A equação diferencial parcial (PDE) envolve as derivadas segundas \partial_{x}^{2}u e \partial_{y}^{2}u.
  • O coeficiente da derivada em y é (x+y), que depende de ambas as variáveis x e y.
    A pergunta é se a técnica padrão de separação de variáveis (procurar soluções do tipo produto de funções de uma só variável) pode ser aplicada aqui para obter uma solução geral.

Passo 2

O que é o método de separação de variáveis (explicação didática)?
  • A ideia simples: procurar soluções da forma \,u(x,y)=X(x)\,Y(y)\,, onde X depende só de x e Y só de y.
  • Substituindo u=X(x)Y(y) na PDE, normalmente tenta-se dividir por X Y e obter uma soma de termos onde cada termo depende só de uma variável. Isso nos permite igualar cada termo a uma constante de separação e obter EDOs para X e Y.
  • Condição prática para funcionar bem: depois de dividir por X Y deve aparecer algo no formato
F_1(x)+F_2(y)=0,
ou seja, uma soma de uma função apenas de x e outra apenas de y. Então cada uma deve ser constante.
Vou aplicar essa estratégia aqui e mostrar passo a passo por que, em geral, não dá certo.

Passo 3

Tentativa padrão: assumir u(x,y)=X(x)Y(y) e calcular as derivadas necessárias.
  • Como u=X Y,
\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=X''(x)\,Y(y), \qquad \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=X(x)\,Y''(y).
  • Substituindo na PDE:
X''(x)\,Y(y)+(x+y)\,X(x)\,Y''(y)=0.
  • Dividindo por X(x)Y(y) (assumindo X,Y\neq0):
\frac{X''(x)}{X(x)}+(x+y)\frac{Y''(y)}{Y(y)}=0.

Passo 4

Análise da expressão obtida — por que não separa:
  • A igualdade acima é
\frac{X''(x)}{X(x)} + (x+y)\frac{Y''(y)}{Y(y)} = 0.
  • Expanda o segundo termo:
\frac{X''(x)}{X(x)} + x\frac{Y''(y)}{Y(y)} + y\frac{Y''(y)}{Y(y)} = 0.
Observe o problema: o termo x\frac{Y''(y)}{Y(y)} mistura x multiplicando uma função que depende só de y. Para que essa soma seja escrita como uma função só de x mais uma função só de y, precisamos eliminar esse produto cruzado ou forçar alguma condição especial em Y.

Passo 5

Ver quais condições especiais permitiriam separar:
  • Se \dfrac{Y''(y)}{Y(y)} fosse uma constante, digamos \lambda, então Y''=\lambda Y e a relação fica
\frac{X''(x)}{X(x)} + \lambda(x+y)=0.
Mas o lado direito depende em conjunto de x e y (pela presença de \lambda y), o que ainda não é separação em funções únicas de x e de y. A única forma de eliminar a dependência em y é ter \lambda=0.
  • Logo a única constante possível aqui para obter separação é \lambda=0, isto é Y''(y)=0.

Passo 6

Consequência prática: soluções separáveis possíveis e conclusão geral
  • Se Y''(y)=0 então Y(y)=a y+b com constantes a,b.
  • Com Y''=0, a PDE reduz, após divisão, a
\frac{X''(x)}{X(x)}=0 \quad\Longrightarrow\quad X''(x)=0,
logo X(x)=c x + d com constantes c,d.
  • Assim, a única família de soluções obtida por separação do tipo u=X(x)Y(y) são produtos de funções lineares:
u(x,y)=(c x+d)(a y+b),
com a,b,c,d constantes. Essas funções realmente satisfazem a PDE porque para elas \partial_{x}^{2}u=0 e \partial_{y}^{2}u=0, logo a equação é 0+(x+y)\cdot 0=0.
  • Porém, essa é uma família muito restrita (linhas/bilíneas). Não se consegue, pelo método de separação multiplicativa padrão, obter a solução geral da PDE porque o coeficiente (x+y) mistura as variáveis; portanto não existe uma separação que gere duas EDOs independentes não-triviais no caso geral.

Passo 7

Resumo didático e dica para a prova (tom amigo)
  • Regra prática: se os coeficientes das derivadas dependem de ambas as variáveis (como (x+y) aqui), a separação multiplicativa típica costuma falhar, salvo em casos especiais que anulam o termo cruzado.
  • Aqui o termo cruzado só desaparece se Y''=0, dando soluções separáveis muito simples.
  • Se quiser achar soluções mais gerais, será preciso outro método (por exemplo, procurar transformações, soluções polinomiais de grau específico, método de potências em uma variável paramétrica, ou usar técnicas para PDEs com coeficientes variáveis). Na prova, se pedirem separação de variáveis, diga que não se aplica em geral e mostre o cálculo que leva à necessidade de Y''=0 (como fiz acima) — isso é suficiente para justificar a resposta.

Resposta

Não, o método de separação de variáveis multiplicativa não funciona em geral para \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+(x+y)\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0. A única família de soluções separáveis obtida por u(x,y)=X(x)Y(y) é a trivial/básica
u(x,y)=(c x+d)(a y+b),
com constantes a,b,c,d.

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