Determine o número de pontos necessário para aproximar a função, no intervalo 0,0.4, com 7 casas decimais corretas, utilizando interpolação sobre pontos igualmente espaçados. Dica: Mostre que f^(k)(x)=k 3^k-1 e^3 x+3^k x e^3 x.
f(x)=e^3 x

Passo 1

Beleza, o enunciado quer saber quantos pontos igualmente espaçados a gente precisa em [0,0.4] para interpolar a função
f(x)=e^3x
de modo que o erro seja menor que Rn(x)=f^(n+1)(xi)(n+1)!,(x-x0)(x-x1)cdots(x-xn) (7 casas decimais). O assunto aqui é “erro da interpolação polinomial” e vamos usar o resto de Lagrange
além de estimar o máximo de no intervalo e o máximo do produto .

Passo 2

Primeiro, vamos achar uma cota para f^(k)(x)=k,3^k-1e^3x+3^k,x,e^3x em f^(n+1)(x)=(n+1)3^n e^3x+3^n+1x,e^3x . A dica diz que
|f^(n+1)(x)|<=3^n e^1.2l((n+1)+3cdot0.4r) =3^n e^1.2(n+2.2)
Então, para ,
Em temos e . Logo
Chamamos essa cota de .

Passo 3

O resto de Lagrange em um ponto |Rn(x)|<=Mn(n+1)!maxxin[0,0.4]l|(x-x0)cdots(x-xn)r| satisfaz
l|(x-x0)cdots(x-xn)r|<=(0.4)^n+1
Como os nós |Rn(x)|<=3^n e^1.2(n+2.2),(0.4)^n+1(n+1)! vão de a , cada fator . Então
Ficamos com

Passo 4

Para garantir 7 casas decimais, queremos
3^n e^1.2(n+2.2),(0.4)^n+1(n+1)!<=10^-7
A gente testa valores inteiros de até achar o primeiro que satisfaça essa desigualdade.

Passo 5

Fazendo uma conta rápida (ou por tentativa) obtemos aproximadamente:
n=10 → erro ≃ (ainda grande)
n=11 → erro ≃ (ainda um pouco acima de )
n=12 → erro ≃ (abaixo de )
Portanto o menor grau de polinômio que garante erro < é .

Resposta

Para atingir 7 casas decimais no intervalo usando interpolação com nós igualmente espaçados, você precisa de um polinômio de grau 12, isto é, de 13 pontos.

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