Determine o número de pontos necessário para aproximar a função, no intervalo , com 7 casas decimais corretas, utilizando interpolação sobre pontos igualmente espaçados. Dica: Mostre que .
Passo 1
Beleza, o enunciado quer saber quantos pontos igualmente espaçados a gente precisa em [0,0.4] para interpolar a função
de modo que o erro seja menor que (7 casas decimais). O assunto aqui é “erro da interpolação polinomial” e vamos usar o resto de Lagrange
além de estimar o máximo de no intervalo e o máximo do produto .
Passo 2
Primeiro, vamos achar uma cota para em . A dica diz que
Então, para ,
Em temos e . Logo
Chamamos essa cota de .
Passo 3
O resto de Lagrange em um ponto satisfaz
Como os nós |Rn(x)|<=3^n e^1.2(n+2.2),(0.4)^n+1(n+1)! vão de a , cada fator . Então
Ficamos com
Passo 4
Para garantir 7 casas decimais, queremos
3^n e^1.2(n+2.2),(0.4)^n+1(n+1)!<=10^-7
A gente testa valores inteiros de até achar o primeiro que satisfaça essa desigualdade.
Passo 5
Fazendo uma conta rápida (ou por tentativa) obtemos aproximadamente:
n=10 → erro ≃ (ainda grande)
n=11 → erro ≃ (ainda um pouco acima de )
n=12 → erro ≃ (abaixo de )
Portanto o menor grau de polinômio que garante erro < é .
Resposta
Para atingir 7 casas decimais no intervalo usando interpolação com nós igualmente espaçados, você precisa de um polinômio de grau 12, isto é, de 13 pontos.