Questão 4 (CHAPRA, 2016 - questão MODIFICADA 18.9 pág. 437) Use interpolação quadrática para determinar o valor de f(x) que corresponde a x=2,5 para os seguintes dados tabulados:
X F(X)
0 0
1 0,5
2 0,8
3 0,9
4 0,941176
5 0,961538
(b) Use interpolação quadrática de x em função de y.
Para as partes (b) a (d), calcule o erro relativo porcentual verdadeiro.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede duas coisas:
  1. Usar interpolação quadrática para achar a partir da tabela de pontos .
  2. Inverter o papel de e (ou seja, interpolar em função de ) pra achar o que corresponde a e depois calcular o erro percentual verdadeiro dessa estimativa.
    O assunto é interpolação de Lagrange de grau 2. Vamos precisar escrever o polinômio de Lagrange e avaliar nos pontos pedidos, sem pular etapas.

Passo 2

Interpolação direta para L0(x)=(x-2)(x-3)(1-2)(1-3), L1(x)=(x-1)(x-3)(2-1)(2-3), L2(x)=(x-1)(x-2)(3-1)(3-2) .
  1. Escolhi os nós mais próximos de L0(2,5)=(2,5-2)(2,5-3)( -1)(-2)=(0,5)(-0,5)2=-0,125, : L1(2,5)=(2,5-1)(2,5-3)(1)(-1)=-;(1,5)(-0,5)=0,75, , L2(2,5)=(2,5-1)(2,5-2)(2)(1)=(1,5)(0,5)2=0,375 , f(2,5)=f0L0(2,5)+f1L1(2,5)+f2L2(2,5) =0,5cdot(-0,125)+0,8cdot0,75+0,9cdot0,375=0,875 , com valores , , .
  2. Os polinômios de Lagrange de grau 2 são
  1. Avaliando em :
  1. Então

Passo 3

Interpolação inversa para achar ell0(y)=(y-0,9)(y-0,941176)(0,8-0,9)(0,8-0,941176), ell1(y)=(y-0,8)(y-0,941176)(0,9-0,8)(0,9-0,941176), ell2(y)=(y-0,8)(y-0,9)(0,941176-0,8)(0,941176-0,9) quando x(0,9)=x0ell0(0,9)+x1ell1(0,9)+x2ell2(0,9)=3 .
  1. Nos nossos dados, . Queremos tal que . Escolhemos os nós com perto de 0,9:
    , , .
  2. Montamos o polinômio de Lagrange em :
  1. Avaliando em , note que e . Logo

Passo 4

Erro relativo percentual verdadeiro para parte (b):
Erro %=|xverdadeiro-xaprox xverdadeiro|times100%
Aqui o Erro %=|3-33|times100%=0% “verdadeiro” que dá é exatamente (pois na tabela ), e nosso . Então

Resposta

f(2,5)=0,875;
x quando y=0,9≈3;
erro relativo verdadeiro=0 %.

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