Questão 3 (CHAPRA, 2016 - questão 9.15 pág. 225) Resolva o seguinte sistema de equações lineares usando o método da eliminação de Gauss com pivoteamento parcial:
3 x+2 y+-z=1
2 x-2 y+4 z=-2
-x+0.5 y-z=0
Compare a solução com a obtida pela decomposição LU.

Passo 1

Beleza, a questão pede pra gente resolver o sistema
3x + 2y - z = 1, 2x - 2y + 4z = -2, -,x + 0.5y - z = 0
usando eliminação de Gauss com pivoteamento parcial, depois comparar com a solução por decomposição LU.
Conteúdo: álgebra linear básica (matriz, eliminação, pivô, LU). Vamos precisar entender como escolher pivô, zerar abaixo dele e depois “voltar” (back-substitution).

Passo 2

Primeiro pivô (coluna 1): olhamos os valores absolutos em |3|,|2|,|−1| → maior é 3, que já está na linha 1.
Então mantemos:
L1: 3x+2y-z=1
L2: 2x-2y+4z=-2
L3: -x+0.5y-z=0
Agora vamos zerar as duas entradas debaixo de 3:
m₂₁ = 2/3 → L2 ← L2 − (2/3)L1
m₃₁ = (−1)/3 = −1/3 → L3 ← L3 − (−1/3)L1 = L3 + (1/3)L1

Passo 3

Depois dos cálculos:
L2:
0;x ;-tfrac103y +tfrac143z = -tfrac83
L3:
0;x ;+tfrac76y -tfrac43z = tfrac13
Então a matriz está (na forma triangular superior parcial):
3 & 2 & -1 0 & -tfrac103 & tfrac143 0 & tfrac76 & -tfrac43 e 1[3pt]-tfrac83[3pt]tfrac13

Passo 4

Segundo pivô (submatriz 2×2 col 2–3): em |−10/3|≈3.33 e |7/6|≈1.17 o maior é |−10/3|, que já está em L2. Não trocamos linhas.
Agora zeramos a entrada L3(3,2):
m₃₂ = (7/6)/(−10/3) = −7/20 → L3 ← L3 − m₃₂·L2

Passo 5

Fazendo a conta dá:
L3: 0x + 0y + tfrac310z = -tfrac35.
Ou seja, .

Passo 6

Back‐substitution:
  1. Da L3:
tfrac310z = -tfrac35 implies z = l(-tfrac35r)l(tfrac103r) = -2
  1. Da L2:
-tfrac103,y + tfrac143,(-2) = -tfrac83 implies -10y -28 = -8 implies y = -2
  1. Da L1:
3x + 2(-2) -(-2) = 1 implies 3x -4 +2 =1 implies 3x=3 implies x=1

Passo 7

Decomposição LU (sem pivôs extras, pois não fizemos trocas):
A = LU, onde
L = 1 & 0 & 0 2/3 & 1 & 0 -1/3 & -7/20 & 1 ,
U = 3 & 2 & -1 0 & -10/3 & 14/3 0 & 0 & 3/10 .
Resolvendo Ly=b por forward‐substitution e depois Ux=y dá exatamente x=1, y=-2, z=-2.

Resposta

x = 1,
y = -2,
z = -2.

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