Encontre todas as raízes da equação:
[
\sqrt{\frac{x^{2}-2 \cdot x-2}{x^{2}+4 \cdot x+2}}+\sqrt{\frac{x^{2}+4 \cdot x+2}{x^{2}-2 \cdot x-2}}=2

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para a gente encontrar todas as raízes da equação
raizx^2-2x-2x^2+4x+2 ;+; raizx^2+4x+2x^2-2x-2 ;=;2
Isso é uma equação com raízes quadradas (radicais). Para resolver vamos:
  1. analisar o domínio (pra onde os radicandos estão definidos);
  2. usar uma substituição esperta pra simplificar a soma;
  3. voltar a e checar solução.

Passo 2

Antes de mexer nos radicais, vamos ver quando eles fazem sentido:
  1. Cada expressão dentro da raiz tem de ser ≥ 0.
  2. Os denominadores não podem ser zero.
Definindo
A = x^2 - 2x - 2, B = x^2 + 4x + 2,
precisamos de
AB >= 0, BA >= 0, Aneq 0, Bneq 0
Repare que “ e ” significa simplesmente que e têm o mesmo sinal. Mais adiante a gente vai ver que a única solução faz com que , o que já garante esse mesmo sinal. Então, por hora, saiba que no fim a checagem de domínio vai bater certinho.

Passo 3

Agora a parte mais legal: note que uma raiz é justamente o inverso da outra, tipo
raizAB e raizBA ,
Vamos chamar
t = raizAB,
então a outra raiz vira
raizBA = 1t,
porque t + 1t = 2 . A equação original vira

Passo 4

Resolvendo em t + 1t = 2 ;Longrightarrow; t^2 + 1 = 2t ;Longrightarrow; t^2 - 2t + 1 = 0 ;Longrightarrow; (t-1)^2 = 0 ;Longrightarrow; t = 1 :

Passo 5

Como AB = 1 ;Longrightarrow; A = B ;Longrightarrow; x^2 - 2x - 2 = x^2 + 4x + 2 ;Longrightarrow; -2x - 2 = 4x + 2 ;Longrightarrow; -6x = 4 ;Longrightarrow; x = -23 era , temos
Só falta checar se em não estamos violando domínio:
  • ,
  • .
    Tudo ok, as raízes dentro da raiz ficam iguais a 1, sem dar problema.

Resposta

A única solução da equação é
boxedx = -23

Exercícios relacionados