Encontre todas as raízes da equação:
[
\sqrt{\frac{x^{2}-2 \cdot x-2}{x^{2}+4 \cdot x+2}}+\sqrt{\frac{x^{2}+4 \cdot x+2}{x^{2}-2 \cdot x-2}}=2
\sqrt{\frac{x^{2}-2 \cdot x-2}{x^{2}+4 \cdot x+2}}+\sqrt{\frac{x^{2}+4 \cdot x+2}{x^{2}-2 \cdot x-2}}=2
Passo 1
Beleza, o enunciado pede para a gente encontrar todas as raízes da equação
Isso é uma equação com raízes quadradas (radicais). Para resolver vamos:
- analisar o domínio (pra onde os radicandos estão definidos);
- usar uma substituição esperta pra simplificar a soma;
- voltar a
e checar solução.
Passo 2
Antes de mexer nos radicais, vamos ver quando eles fazem sentido:
- Cada expressão dentro da raiz tem de ser ≥ 0.
- Os denominadores não podem ser zero.
Definindo
precisamos de
Repare que “
e
” significa simplesmente que
e
têm o mesmo sinal. Mais adiante a gente vai ver que a única solução faz com que
, o que já garante esse mesmo sinal. Então, por hora, saiba que no fim a checagem de domínio vai bater certinho.
Passo 3
Agora a parte mais legal: note que uma raiz é justamente o inverso da outra, tipo
Vamos chamar
então a outra raiz vira
porque
. A equação original vira
Passo 4
Resolvendo em
:
Passo 5
Como
era
, temos
Só falta checar se em
não estamos violando domínio:
-
, -
.
Tudo ok, as raízes dentro da raiz ficam iguais a 1, sem dar problema.
Resposta
A única solução da equação é