Determine o número de soluções positivas de:
[
\left(x^{2}+10 \cdot x+30\right)^{2}=11 \cdot x^{2}+110 \cdot x+300

Passo 1

Beleza, o enunciado quer saber quantas soluções positivas satisfazem
l(x^2+10x+30r)^2 = 11x^2 + 110x + 300
Isso é um exercício de equações polinomiais, onde vamos usar substituição e fórmula de Bhaskara pra resolver quadráticas. Vou explicar tudo passo a passo, sem pular nada, como se a gente estivesse batendo um papo.

Passo 2

Repara que o lado direito dá pra escrever em função de 11x^2 + 110x + 300 = 11,(x^2+10x+30) - 30 :
y = x^2 + 10x + 30
Então define
y^2 = 11,y - 30 Longrightarrow y^2 - 11y + 30 = 0
A equação vira
ay^2 + by + c = 0,
Agora é só resolver essa quadrática em y = -b pm raizb^2 - 4ac2a . Lembra que, pra
a gente usa a fórmula

Passo 3

Aqui De, y = 11 pm raiz12 = 11 pm 12, , y1 = 11+12 = 6, y2 = 11-12 = 5 . O discriminante é
Logo
dando

Passo 4

Agora substitui de volta x = -10 pm 22 ;Rightarrow; x = -6;ou;x = -4 . Temos duas equações:
  1. x = -5

    Aqui , então
    .
    As raízes são

  2. , que é
    .
    Logo

Passo 5

As soluções encontradas são , e . Nenhuma delas é positiva, então não temos solução positiva.

Resposta

0

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