Determine o número de soluções positivas de:
[
\left(x^{2}+10 \cdot x+30\right)^{2}=11 \cdot x^{2}+110 \cdot x+300
\left(x^{2}+10 \cdot x+30\right)^{2}=11 \cdot x^{2}+110 \cdot x+300
Passo 1
Beleza, o enunciado quer saber quantas soluções positivas satisfazem
Isso é um exercício de equações polinomiais, onde vamos usar substituição e fórmula de Bhaskara pra resolver quadráticas. Vou explicar tudo passo a passo, sem pular nada, como se a gente estivesse batendo um papo.
Passo 2
Repara que o lado direito dá pra escrever em função de
:
Então define
A equação vira
Agora é só resolver essa quadrática em
. Lembra que, pra
a gente usa a fórmula
Passo 3
Aqui
,
,
. O discriminante é
Logo
dando
Passo 4
Agora substitui de volta
. Temos duas equações:
-
Aqui, então
.
As raízes são -
, que é
.
Logo
Passo 5
As soluções encontradas são
,
e
. Nenhuma delas é positiva, então não temos solução positiva.
Resposta
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