Determine as partes real e imaginária das funções f(z)=2 z^{2}-3 z e f(z)=\frac{1}{1-z}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a parte real e a parte imaginária de duas funções de variável complexa. O conteúdo é decomposição de uma função f:\mathbb{C}\to\mathbb{C} em suas partes real u(x,y) e imaginária v(x,y). Vamos usar a substituição
z = x + \mathrm{i}y,
onde x,y\in\mathbb{R}, e então escrever
f(z) = u(x,y) + \mathrm{i}\,v(x,y).

Passo 2

Para f(z)=2z^{2}-3z, começamos por calcular z^2:
z^2 = (x + \mathrm{i}y)^2 = x^2 - y^2 + 2\,\mathrm{i}\,x y.
Multiplicando por 2 e subtraindo 3z, temos
2z^2 = 2(x^2 - y^2) + 4\,\mathrm{i}\,x y, \qquad -3z = -3x - 3\,\mathrm{i}\,y.
Somando-os,
f(z)=2z^2-3z = \bigl(2x^2 - 2y^2 - 3x\bigr) + \mathrm{i}\,\bigl(4xy - 3y\bigr).
Logo,
u(x,y) = 2x^2 - 2y^2 - 3x, \qquad v(x,y) = 4xy - 3y.

Passo 3

Para f(z)=\frac{1}{1-z}, escrevemos o denominador como
1 - z = 1 - x - \mathrm{i}y.
Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado 1 - x + \mathrm{i}y, obtendo
f(z) = \frac{1 - x + \mathrm{i}y}{(1 - x)^2 + y^2} = \frac{1 - x}{(1 - x)^2 + y^2} + \mathrm{i}\,\frac{y}{(1 - x)^2 + y^2}.
Portanto,
u(x,y) = \frac{1 - x}{(1 - x)^2 + y^2}, \qquad v(x,y) = \frac{y}{(1 - x)^2 + y^2}.

Resposta

Para f(z)=2z^{2}-3z:
\Re f = 2x^2 - 2y^2 - 3x, \quad \Im f = 4xy - 3y.
Para f(z)=\frac{1}{1-z}:
\Re f = \frac{1 - x}{(1 - x)^2 + y^2}, \quad \Im f = \frac{y}{(1 - x)^2 + y^2}.

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