Mostre que o conjugado de e^{z} é e^{\bar{z}}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjugado de \e^z é \e^{\bar z}. O conteúdo é a definição da exponencial complexa via série de potências e as propriedades do conjugado.

Passo 2

Lembramos que a função exponencial complexa é dada por
\e^z \;=\; \sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}\,.

Passo 3

Aplicamos o conjugado em cada lado:
\overline{\e^z} \;=\; \overline{\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}}.

Passo 4

Usamos que o conjugado é linear e preserva produtos e constantes reais:
\overline{\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}} =\sum_{n=0}^{\infty}\overline{\frac{z^n}{n!}} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\overline{z^n}}{n!} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\bigl(\overline z\bigr)^n}{n!}\,.

Passo 5

Reconhecemos a série obtida como a expansão de \e^{\overline z}:
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\bigl(\overline z\bigr)^n}{n!} =\e^{\overline z}.

Resposta

\overline{\e^z} = \e^{\overline z}

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