Determine f(2+i), f(3 i) e f(-4+i) onde f(z)=\frac{z+1}{z-1}.

Passo 1

O enunciado pede para avaliar a função de variável complexa
f(z)=\frac{z+1}{z-1}
nos pontos 2+i, 3i e -4+i. Vamos usar álgebra de números complexos e multiplicar numerador e denominador pelo conjugado para simplificar cada fração e obter a forma a+bi.

Passo 2

Para z=2+i,
f(2+i)=\frac{(2+i)+1}{(2+i)-1}=\frac{3+i}{1+i}.
Multiplicando numerador e denominador por 1 - i:
f(2+i) =\frac{(3+i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} =\frac{3-3i+i-i^2}{1^2-i^2} =\frac{3-2i+1}{1-(-1)} =\frac{4-2i}{2} =2 - i.

Passo 3

Para z=3i,
f(3i)=\frac{3i+1}{3i-1}=\frac{1+3i}{-1+3i}.
Multiplicando numerador e denominador por -1-3i:
f(3i) =\frac{(1+3i)(-1-3i)}{(-1+3i)(-1-3i)} =\frac{-1-3i-3i-9i^2}{(-1)^2-(3i)^2} =\frac{-1-6i+9}{1-(-9)} =\frac{8-6i}{10} =\frac{4}{5}-\frac{3}{5}i.

Passo 4

Para z=-4+i,
f(-4+i)=\frac{-4+i+1}{-4+i-1}=\frac{-3+i}{-5+i}.
Multiplicando numerador e denominador por -5 - i:
f(-4+i) =\frac{(-3+i)(-5-i)}{(-5+i)(-5-i)} =\frac{15+3i-5i-i^2}{25- i^2} =\frac{15-2i+1}{25-(-1)} =\frac{16-2i}{26} =\frac{8}{13}-\frac{1}{13}i.

Resposta

f(2+i)=2 - i
f(3i)=\tfrac{4}{5}-\tfrac{3}{5}i
f(-4+i)=\tfrac{8}{13}-\tfrac{1}{13}i

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