Determine o polinômio de grau 3, P3(x), que passa pelos pontos da tabela abaixo. Em seguida, calcule P3(2) usando o polinômio de Lagrange.
xi 0 1 3 4
fi 2 4 5 0

Passo 1

Então, temos 4 pontos:
(0,2),;(1,4),;(3,5),;(4,0)
Precisamos achar o polinômio de grau 3 que passa por esses pontos usando a fórmula de interpolação de Lagrange e depois calcular P3(x)=sumi=0^3 fi,Li(x), .
O conteúdo é Interpolação Polinomial – vamos usar a fórmula de Lagrange:
Li(x)=prodsubstackj=0jneq i^3x-xjxi-xj
onde
Precisamos saber fazer produtos de fatores e simplificar frações.

Passo 2

Primeiro, escrevo cada polinômio base L0(x)=(x-1)(x-3)(x-4)(0-1)(0-3)(0-4) =(x-1)(x-3)(x-4)(-1)(-3)(-4) =-(x-1)(x-3)(x-4)12 para os pontos L1(x)=(x-0)(x-3)(x-4)(1-0)(1-3)(1-4) =x(x-3)(x-4)1cdot(-2)cdot(-3) =x(x-3)(x-4)6 , L2(x)=(x-0)(x-1)(x-4)(3-0)(3-1)(3-4) =x(x-1)(x-4)3cdot2cdot(-1) =-x(x-1)(x-4)6 , L3(x)=(x-0)(x-1)(x-3)(4-0)(4-1)(4-3) =x(x-1)(x-3)4cdot3cdot1 =x(x-1)(x-3)12 , :
  1. Para ( , ):
  1. Para ( , ):
  1. Para ( , ):
  1. Para ( , ):

Passo 3

Agora monto
P3(x) =2,L0(x)+4,L1(x)+5,L2(x)+0cdot L3(x)
Substituindo:
P3(x) =-212(x-1)(x-3)(x-4) +46,x(x-3)(x-4) -56,x(x-1)(x-4)

Passo 4

Vamos simplificar e expandir de leve. Depois de juntar tudo e reduzir, chega-se a:
P3(x) =-tfrac13x^3+tfrac56x^2+tfrac32x+2
Isso é só coletar coeficientes e organizar o polinômio em forma padrão.

Passo 5

Finalmente, calculo P3(2) =-tfrac13cdot 2^3+tfrac56cdot 2^2+tfrac32cdot 2+2 =-tfrac83+tfrac206+3+2 =-tfrac83+tfrac103+5 =tfrac23+5 =tfrac173 :

Resposta

boxedP3(x)=-13x^3+56x^2+32x+2, P3(2)=173

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