Usando a tabela abaixo, e sabendo que f(x)=e^x, determine a aproximação para e^1.45 por P3(1.45), usando Lagrange.
x 1,0 1,2 1,4 1,6
f(x) 2,718 3,320 4,055 4,953

Passo 1

Beleza! O enunciado diz que temos a tabela abaixo com valores de
f(x)=e^x
para , e pede para aproximar usando o polinômio interpolador de grau 3 (denotado ) no formato de Lagrange.
Conteúdo: interpolação polinomial de Lagrange.
O que vamos usar:
  1. A fórmula do polinômio de Lagrange
  2. Cálculo dos coeficientes básicos
  3. Avaliação em

Passo 2

A ideia geral da Lagrange é construir
P3(x);=;sumi=0^3 f(xi),Li(x),
onde cada “função chave” Li(x) =prodsubstackj=0jneq i^3 x - xj,xi - xj, cancela todos os f(1.0)=2.718,; f(1.2)=3.320,; f(1.4)=4.055,; f(1.6)=4.953 com e vale 1 em . A fórmula é
Aqui , , , e os vêm da tabela:

Passo 3

Vamos calcular cada L0(1.45) =1.45-1.21.0-1.2,times, 1.45-1.41.0-1.4,times, 1.45-1.61.0-1.6 =0.25-0.2times0.05-0.4times-0.15-0.6 =0.0390625 :
  1. L1(1.45) =1.45-1.01.2-1.0times1.45-1.41.2-1.4times1.45-1.61.2-1.6 =0.450.2times0.05-0.2times-0.15-0.4 =-0.2109375 com L2(1.45) =1.45-1.01.4-1.0times1.45-1.21.4-1.2times1.45-1.61.4-1.6 =0.450.4times0.250.2times-0.15-0.2 =1.0546875 :
L3(1.45) =1.45-1.01.6-1.0times1.45-1.21.6-1.2times1.45-1.41.6-1.4 =0.450.6times0.250.4times0.050.2 =0.1171875
  1. com :
  1. com :
  1. com :

Passo 4

Agora monta P3(1.45) =sumi=0^3 f(xi),Li(1.45) =2.718cdot0.0390625 +3.320cdot(-0.2109375) +4.055cdot1.0546875 +4.953cdot0.1171875 :
2.718cdot0.0390625approx0.10617, 3.320cdot(-0.21094)approx-0.70016,
Calculando termo a termo:
4.055cdot1.05469approx4.27848, 4.953cdot0.11719approx0.58086
0.10617-0.70016+4.27848+0.58086approx4.26535
Somando tudo:

Resposta

A aproximação por boxede^1.45approx P3(1.45)approx 4.26535 em fica

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