Determine o polinômio de grau
, que passa pelos pontos da tabela abaixo. Em seguida, calcule
.
|
1 | 2 | 3 | 4 |
---|---|---|---|---|
|
4 | 15 | 40 | 85 |
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos quatro pontos
e pede para achar um polinômio de grau 3,
, que passe por eles. Depois, queremos calcular
.
Conteúdo: interpolação polinomial (especificamente, método das diferenças finitas ou sistema de equações para achar coeficientes). Vamos precisar lembrar que um polinômio de grau 3 geral é
Conteúdo: interpolação polinomial (especificamente, método das diferenças finitas ou sistema de equações para achar coeficientes). Vamos precisar lembrar que um polinômio de grau 3 geral é
e usar os quatro pontos para determinar
.
Passo 2
Primeiro, um toque de teoria:
- Um polinômio de grau 3 tem 4 coeficientes independentes (
). - Cada ponto
gera uma equação . - Como temos 4 pontos, formamos um sistema de 4 equações e 4 incógnitas.
- Alternativa mais rápida: usar o fato de que a terceira diferença finita de um polinômio cúbico é constante e igual a
.
Passo 3
Vamos montar a tabela de diferenças finitas para ver quanto vale
:
A terceira diferença
é 6, e sabemos que
. Logo
Passo 4
Agora que
, definimos
e usamos os pontos para achar
.
Para :
Para
Para
:
Para
:
Subtraindo (2)-(1):
Subtraindo (3)-(2):
Agora
:
Com
em (4):
E em (1):
Então
Passo 5
Agora calculamos
:
Vamos por frações com denominador 8: