Determine o polinômio de grau 3, P3(x), que passa pelos pontos da tabela abaixo. Em seguida, calcule P3(1.5).
xi 1 2 3 4
fi 4 15 40 85

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos quatro pontos P3(x) = a x^3 + b x^2 + c x + d e pede para achar um polinômio de grau 3, , que passe por eles. Depois, queremos calcular .
Conteúdo: interpolação polinomial (especificamente, método das diferenças finitas ou sistema de equações para achar coeficientes). Vamos precisar lembrar que um polinômio de grau 3 geral é
e usar os quatro pontos para determinar .

Passo 2

Primeiro, um toque de teoria:
  • Um polinômio de grau 3 tem 4 coeficientes independentes ( ).
  • Cada ponto gera uma equação .
  • Como temos 4 pontos, formamos um sistema de 4 equações e 4 incógnitas.
  • Alternativa mais rápida: usar o fato de que a terceira diferença finita de um polinômio cúbico é constante e igual a .

Passo 3

Vamos montar a tabela de diferenças finitas para ver quanto vale c|c|c|c|c x & f & De:
6a = 6 Longrightarrow a = 1
A terceira diferença é 6, e sabemos que . Logo

Passo 4

Agora que P3(x) = x^3 + b x^2 + c x + d, , definimos
1^3 + bcdot1^2 + ccdot1 + d = 4 Longrightarrow 1 + b + c + d =4 ;;(1)
e usamos os pontos para achar 2^3 + bcdot2^2 + ccdot2 + d =15 Longrightarrow 8 +4b +2c + d=15 ;;(2) .
Para 3^3 + bcdot3^2 + ccdot3 + d =40 Longrightarrow 27+9b+3c + d=40 ;;(3) :
(8+4b+2c+d) - (1+b+c+d) = 15-4 ;Longrightarrow; 3b + c = 4 ;;(4)
Para (27+9b+3c+d) - (8+4b+2c+d) = 40-15 ;Longrightarrow; 5b + c = 6 ;;(5) :
(5b+c) - (3b+c) = 6-4 ;Longrightarrow; 2b = 2 ;Longrightarrow; b=1
Para 3cdot1 + c =4 ;Longrightarrow; c=1 :
1 + 1 + 1 + d =4 ;Longrightarrow; d=1
Subtraindo (2)-(1):
boxedP3(x) = x^3 + x^2 + x + 1
Subtraindo (3)-(2):
Agora :
Com em (4):
E em (1):
Então

Passo 5

Agora calculamos P3(1.5) = (1.5)^3 + (1.5)^2 + (1.5) + 1 = 278 + 94 + 32 + 1 :
278 + 188 + 128 + 88 = 27+18+12+88 = 658 = 8,125
Vamos por frações com denominador 8:

Resposta

e

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