Determine o polinômio de interpolação de Lagrange para a função conhecida pelos pontos tabelados abaixo e calcule P3(0,3). Trabalhe com 3 casas decimais.
|c|c|c| hline$i$ & $xi$ & $yi$ hline 0 & 0,0 & 0,0 hline 1 & 0,2 & 2,008 hline 2 & 0,4 & 4,064 hline 3 & 0,5 & 5,125 hline
0 0,0 0,0
1 0,2 2,008
2 0,4 4,064
3 0,5 5,125

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o polinômio de interpolação de Lagrange que passa pelos pontos tabelados e, em seguida, calcular o valor desse polinômio em $ P_{3}(0,3) $. Para isso, vamos precisar entender o que é interpolação de Lagrange e como aplicar essa técnica passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o polinômio de interpolação de Lagrange. Basicamente, é um polinômio que passa exatamente por um conjunto de pontos dados. No nosso caso, temos quatro pontos:
(0,0), (0,2, 2,008), (0,4, 4,064), (0,5, 5,125)
A ideia é encontrar um polinômio $ P(x) $ tal que $ P(x_i) = y_i $ para cada ponto $ (x_i, y_i) $.

Passo 3

A fórmula do polinômio de Lagrange é a seguinte:
P(x) = sumi=0^n yi cdot Li(x)
Onde cada $ L_i(x) $ é chamado de polinômio base de Lagrange e é dado por:
Li(x)
No nosso caso, temos $ n = 3 $ (quatro pontos), então vamos calcular $ L_0(x), L_1(x), L_2(x) $ e $ L_3(x) $.

Passo 4

Vamos calcular cada $ L_i(x) $:
  1. Para $ L_0(x) $:
Li(x)
  1. Para $ L_1(x) $:
L0(x)
  1. Para $ L_2(x) $:
L0(x) = (x - 0,2)(x - 0,4)(x - 0,5)(0,0 - 0,2)(0,0 - 0,4)(0,0 - 0,5) = (x - 0,2)(x - 0,4)(x - 0,5)(-0,2)(-0,4)(-0,5) = (x - 0,2)(x - 0,4)(x - 0,5)-0,04
  1. Para $ L_3(x) $:
L1(x)

Passo 5

Agora que temos os $ L_i(x) $, vamos montar o polinômio $ P(x) $:
Li(x)
Substituindo os valores $ y_i $:
P(x)
Simplificando:
P(x) = y0 cdot L0(x) + y1 cdot L1(x) + y2 cdot L2(x) + y3 cdot L3(x)

Passo 6

Agora, vamos substituir $ x = 0,3 $ no polinômio $ P(x) $:
x = 0,3
Vamos calcular cada $ L_i(0,3) $:
  1. $ L_1(0,3) $:
P(x)
  1. $ L_2(0,3) $:
P(0,3) = 2,008 cdot L1(0,3) + 4,064 cdot L2(0,3) + 5,125 cdot L3(0,3)
  1. $ L_3(0,3) $:
Li(0,3)

Passo 7

Agora, substituímos esses valores no $ P(0,3) $:
P(0,3)
Calculando cada termo:
P(0,3) = 2,008 cdot 0,5 + 4,064 cdot 0,75 + 5,125 cdot (-0,2)
2,008 cdot 0,5 = 1,004
4,064 cdot 0,75 = 3,048
Somando tudo:
5,125 cdot (-0,2) = -1,025

Resposta

O valor de $ P_{3}(0,3) $ é 3,027.

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