Determine o polinômio de interpolação de Lagrange para a função conhecida pelos pontos tabelados abaixo e calcule
. Trabalhe com 3 casas decimais.
0
0,0
0,0
1
0,2
2,008
2
0,4
4,064
3
0,5
5,125
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0 | 0,0 | 0,0 |
1 | 0,2 | 2,008 |
2 | 0,4 | 4,064 |
3 | 0,5 | 5,125 |
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o polinômio de interpolação de Lagrange que passa pelos pontos tabelados e, em seguida, calcular o valor desse polinômio em $ P_{3}(0,3) $. Para isso, vamos precisar entender o que é interpolação de Lagrange e como aplicar essa técnica passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o polinômio de interpolação de Lagrange. Basicamente, é um polinômio que passa exatamente por um conjunto de pontos dados. No nosso caso, temos quatro pontos:
A ideia é encontrar um polinômio $ P(x) $ tal que $ P(x_i) = y_i $ para cada ponto $ (x_i, y_i) $.
Passo 3
A fórmula do polinômio de Lagrange é a seguinte:
Onde cada $ L_i(x) $ é chamado de polinômio base de Lagrange e é dado por:
No nosso caso, temos $ n = 3 $ (quatro pontos), então vamos calcular $ L_0(x), L_1(x), L_2(x) $ e $ L_3(x) $.
Passo 4
Vamos calcular cada $ L_i(x) $:
- Para $ L_0(x) $:
- Para $ L_1(x) $:
- Para $ L_2(x) $:
- Para $ L_3(x) $:
Passo 5
Agora que temos os $ L_i(x) $, vamos montar o polinômio $ P(x) $:
Substituindo os valores $ y_i $:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos substituir $ x = 0,3 $ no polinômio $ P(x) $:
Vamos calcular cada $ L_i(0,3) $:
- $ L_1(0,3) $:
- $ L_2(0,3) $:
- $ L_3(0,3) $:
Passo 7
Agora, substituímos esses valores no $ P(0,3) $:
Calculando cada termo:
Somando tudo:
Resposta
O valor de $ P_{3}(0,3) $ é 3,027.