Seja a função f(x)=3^x
De uma limitação para erro absoluto usando a fórmula de erro da aproximação do polinômio de Taylor R3

Passo 1

Beleza! O enunciado diz: “Seja a função Rn(x) = f^(n+1)(xi)(n+1)!(x - a)^n+1, . Dê uma limitação para o erro absoluto usando a fórmula de erro do polinômio de Taylor .”
Isso é assunto de Série de Taylor (ou Maclaurin, se expandirmos em torno de 0).
O que a gente vai usar:
  1. A fórmula do resto na forma de Lagrange:
onde fica entre e .
2) As derivadas de .

Passo 2

Primeiro, calculemos as derivadas gerais de f'(x) = 3^xln 3, f''(x) = 3^x(ln 3)^2, f^(3)(x)=3^x(ln 3)^3, f^(4)(x)=3^x(ln 3)^4 .
Lembra que a derivada de é .
Então
Logo, para a fórmula do resto com e ponto de expansão , precisamos de .

Passo 3

Aplicando a fórmula de Lagrange para o resto de ordem 3 em torno de R3(x) ;=;f^(4)(xi)4!,x^4 ;=;3^xi(ln 3)^44!,x^4 ;=;3^xi(ln 3)^424,x^4, :
onde está entre e .

Passo 4

Agora, queremos uma “limitação”, ou seja, um valor que seja garantidamente maior ou igual a 3^xi ;<=; 3^|xi| ;<=; 3^|x| .
Note que, seja |R3(x)| ;=;l|3^xi(ln 3)^424,x^4r| ;<=;3^|x|(ln 3)^424,|x|^4 positivo ou negativo, varia entre 0 e , então .
Como é crescente em , temos
Portanto

Resposta

Uma limitação para o erro absoluto do polinômio de Taylor de ordem 3 (em torno de 0) para boxed |R3(x)| ;<=; 3^|x|,(ln 3)^424;|x|^4 é

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