Seja a função
De uma limitação para erro absoluto usando a fórmula de erro da aproximação do polinômio de Taylor
Passo 1
Beleza! O enunciado diz: “Seja a função . Dê uma limitação para o erro absoluto usando a fórmula de erro do polinômio de Taylor .”
Isso é assunto de Série de Taylor (ou Maclaurin, se expandirmos em torno de 0).
O que a gente vai usar:
A fórmula do resto na forma de Lagrange:
onde fica entre e .
2) As derivadas de .
Passo 2
Primeiro, calculemos as derivadas gerais de .
Lembra que a derivada de é .
Então
Logo, para a fórmula do resto com e ponto de expansão , precisamos de .
Passo 3
Aplicando a fórmula de Lagrange para o resto de ordem 3 em torno de :
onde está entre e .
Passo 4
Agora, queremos uma “limitação”, ou seja, um valor que seja garantidamente maior ou igual a .
Note que, seja positivo ou negativo, varia entre 0 e , então .
Como é crescente em , temos
Portanto
Resposta
Uma limitação para o erro absoluto do polinômio de Taylor de ordem 3 (em torno de 0) para boxed |R3(x)| ;<=; 3^|x|,(ln 3)^424;|x|^4 é