São dados os seguintes nós de interpolação de uma função f :
c|cccc xi & -1 & 1 & 2 & 3 hline f(xi) & -5 & -1 & 1 & 3
Obter o polinômio interpolador de f pelo método de Lagrange.

Passo 1

Beleza, o enunciado nos dá quatro pares c|cccc xi & -1 & 1 & 2 & 3hline f(xi)& -5 & -1 & 1 & 3
E pede o polinômio interpolador pelo método de Lagrange.
Conteúdo: Interpolação Polinomial de Lagrange.
O que vamos precisar:
• A fórmula do polinômio de Lagrange
• Calcular cada base (numerador e denominador)
• Somar tudo e simplificar

Passo 2

A teoria é a seguinte: o polinômio interpolador de grau ≤3 é
P(x);=;sumi=0^3 f(xi);Li(x),
onde
Li(x);=;prodsubstackj=0jneq i^3x - xj,xi - xj,
Cada é 1 em e zero nos outros nós, garantindo que .

Passo 3

Vamos calcular, pra cada Di = prodjneq i(xi - xj) , o denominador
D0 = (-1-1)(-1-2)(-1-3)=(-2)(-3)(-4)=-24
  1. D1=(1-(-1))(1-2)(1-3)=(2)(-1)(-2)=4 , D2=(2-(-1))(2-1)(2-3)=(3)(1)(-1)=-3 :
D3=(3-(-1))(3-1)(3-2)=(4)(2)(1)=8
  1. , :
  1. , :
  1. , :

Passo 4

Agora os L0(x)=(x-1)(x-2)(x-3)-24, f(x0)L0(x)=-5cdot(x-1)(x-2)(x-3)-24 =524(x-1)(x-2)(x-3) e os termos L1(x)=(x+1)(x-2)(x-3)4, f(x1)L1(x)=-1cdot(x+1)(x-2)(x-3)4 =-14(x+1)(x-2)(x-3) :
  1. L2(x)=(x+1)(x-1)(x-3)-3, f(x2)L2(x)=1cdot(x+1)(x-1)(x-3)-3 =-13(x+1)(x-1)(x-3) :
L3(x)=(x+1)(x-1)(x-2)8, f(x3)L3(x)=3cdot(x+1)(x-1)(x-2)8 =38(x+1)(x-1)(x-2)
  1. :
  1. :
  1. :

Passo 5

O polinômio é a soma:
P(x)=524(x-1)(x-2)(x-3) -14(x+1)(x-2)(x-3) -13(x+1)(x-1)(x-3) +38(x+1)(x-1)(x-2)
Se você expandir cada termo (por exemplo, multiplicando , etc.) e depois somar, tudo se simplifica e o resultado final é um polinômio de grau 1!

Resposta

boxedP(x)=2x-3

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