Determine o Polinômio de Taylor da função , expandindo-a em torno do ponto com 4 termos. Em seguida calcule o erro percentual nas abscissas apresentadas na tabela abaixo:
x f(x) F(x) (%)
0
Resp.:

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor (Maclaurin) de
f(x)=cos^2(x)+sen(x)
em torno de x0=0 com quatro termos (até a potência x^3), e em seguida o erro percentual
varepsilonp(%)=l|F(x)-f(x)r|l|f(x)r|times100%
nos pontos x=-pi,,-tfracpi2,,0,,tfracpi2,,pi.

Passo 2

Vamos obter as séries até a ordem x^3:
  1. Série de cos(x):
cos(x)=1-x^22+x^424+cdots
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cos^2(x)=l(1-tfracx^22+cdotsr)^2 =1-x^2+ O(x^4)
  1. Série de sen(x):
sen(x)=x-x^36+ O(x^5)
Somando-as,
f(x)=cos^2(x)+sen(x) =l(1 - x^2 +cdotsr)+l(x-tfracx^36+cdotsr) =1 + x - x^2 - x^36 + O(x^4)
Portanto o polinômio pedido é
F(x)=1 + x - x^2 - 16,x^3

Passo 3

Calculamos agora f(x) exato e F(x) aproximado nos pontos da tabela:
Para x=-pi:
f(-pi)=cos^2(-pi)+sen(-pi)=1+0=1, F(-pi)=1+(-pi)-pi^2-(-pi)^36approx-6,8435
Para x=-pi2:
fl(-tfracpi2r) =cos^2l(-tfracpi2r)+senl(-tfracpi2r) =0-1=-1,
Fl(-tfracpi2r) =1-tfracpi2-l(tfracpi2r)^2 -l(-tfracpi2r)^36approx-2,3922
Para x=0:
f(0)=1+0=1, F(0)=1
Para x=pi2:
fl(tfracpi2r)=0+1=1, Fl(tfracpi2r)approx-0,5426
Para x=pi:
f(pi)=1+0=1, F(pi)approx-10,8956

Passo 4

Erro percentual
varepsilonp(%)=l|F(x)-f(x)r|l|f(x)r|times100%
Calculando:
  • Para x=-pi:
    varepsilonpapprox|-6,8435-1|1times100%=784,35%.
  • Para x=-tfracpi2:
    varepsilonpapprox|-2,3922-(-1)|1times100%=139,22%.
  • Para x=0:
    varepsilonp=0%.
  • Para x=tfracpi2:
    varepsilonpapprox|-0,5426-1|1times100%=154,26%.
  • Para x=pi:
    varepsilonpapprox|-10,8956-1|1times100%=1189,56%.

Resposta

O polinômio de Taylor de ordem 3 (quatro termos) é
Os valores de , e são:

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