Use o método de Newton-Raphson para aproximar as raízes indicadas com erro absoluto menor que 10^{-5}.
(c) f(x)=e^{x}-2, \quad x_{0}=0,5
Passo 1
O enunciado pede para aproximar a raiz de f usando o método de Newton-Raphson com erro absoluto menor que 10^{-5}. Dados fornecidos:
A função é f(x)=e^{x}-2.
A aproximação inicial é x_{0}=0,5.
A tolerância para o erro absoluto exigida é 10^{-5}.
Passo 2
Vou explicar o método de Newton-Raphson de forma curta e clara (tipo “receita de bolo”):
Suponha que queremos uma raiz de uma função f, ou seja um x tal que f(x)=0.
O método constrói uma sequência \{x_{n}\} por
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})},
onde f'(x) é a derivada de f. Aqui:
x_{n} é a aproximação atual;
x_{n+1} é a próxima aproximação;
\dfrac{f(x_{n})}{f'(x_{n})} é o “corretor” que ajusta a aproximação usando a reta tangente em x_{n}.
Condições importantes: f deve ser diferenciável e f'(x_{n})\neq0 perto da raiz. Quando as condições são boas e a aproximação inicial está razoavelmente perto, o método converge rápido (convergência quadrática).
Para a função dada:
f(x)=e^{x}-2,\qquad f'(x)=e^{x}.
Assim a fórmula do passo fica
x_{n+1}=x_{n}-\frac{e^{x_{n}}-2}{e^{x_{n}}}.
Nota útil (que simplifica cálculo mental):
x_{n+1}=x_{n}-1+2e^{-x_{n}}.
Mas vou usar a forma clássica \;x_{n+1}=x_{n}-\dfrac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}\; e calcular numericamente cada termo com cuidado para não pular etapas.
Esse erro absoluto é muito menor que a tolerância exigida 10^{-5}. Portanto x_{3} já satisfaz a condição.
Observação: se a condição de parada fosse baseada na diferença entre iterados, temos
|x_{3}-x_{2}|\approx 0,0001782820,
que é maior que 10^{-5}, então nesse critério seria necessário mais uma iteração. Mas o enunciado pediu erro absoluto menor que 10^{-5} em relação à raiz verdadeira; usando esse critério vimos que x_{3} já atende à precisão exigida.