Use o método de Newton-Raphson para aproximar as raízes indicadas com erro absoluto menor que 10^{-5}.
(c) f(x)=e^{x}-2, \quad x_{0}=0,5

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a raiz de f usando o método de Newton-Raphson com erro absoluto menor que 10^{-5}. Dados fornecidos:
  • A função é f(x)=e^{x}-2.
  • A aproximação inicial é x_{0}=0,5.
  • A tolerância para o erro absoluto exigida é 10^{-5}.

Passo 2

Vou explicar o método de Newton-Raphson de forma curta e clara (tipo “receita de bolo”):
  • Suponha que queremos uma raiz de uma função f, ou seja um x tal que f(x)=0.
  • O método constrói uma sequência \{x_{n}\} por
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})},
onde f'(x) é a derivada de f. Aqui:
  • x_{n} é a aproximação atual;
  • x_{n+1} é a próxima aproximação;
  • \dfrac{f(x_{n})}{f'(x_{n})} é o “corretor” que ajusta a aproximação usando a reta tangente em x_{n}.
  • Condições importantes: f deve ser diferenciável e f'(x_{n})\neq0 perto da raiz. Quando as condições são boas e a aproximação inicial está razoavelmente perto, o método converge rápido (convergência quadrática).
Para a função dada:
f(x)=e^{x}-2,\qquad f'(x)=e^{x}.
Assim a fórmula do passo fica
x_{n+1}=x_{n}-\frac{e^{x_{n}}-2}{e^{x_{n}}}.
Nota útil (que simplifica cálculo mental):
x_{n+1}=x_{n}-1+2e^{-x_{n}}.
Mas vou usar a forma clássica \;x_{n+1}=x_{n}-\dfrac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}\; e calcular numericamente cada termo com cuidado para não pular etapas.

Passo 3

Começo com x_{0}=0,5.
Calculo f(x_{0}) e f'(x_{0}):
f(x_{0})=e^{0,5}-2\approx 1,6487212707-2=-0,3512787293,
f'(x_{0})=e^{0,5}\approx 1,6487212707.
Aplicando Newton:
x_{1}=x_{0}-\frac{f(x_{0})}{f'(x_{0})} =0,5-\frac{-0,3512787293}{1,6487212707} \approx 0,5+0,2130613190 \approx 0,7130613190.

Passo 4

Agora x_{1}\approx 0,7130613190.
Calculo f(x_{1}) e f'(x_{1}):
f(x_{1})=e^{0,7130613190}-2\approx 2,0402283790-2=0,0402283790,
f'(x_{1})=e^{0,7130613190}\approx 2,0402283790.
Aplicando Newton:
x_{2}=x_{1}-\frac{f(x_{1})}{f'(x_{1})} \approx 0,7130613190-\frac{0,0402283790}{2,0402283790} \approx 0,7130613190-0,0197358600 \approx 0,6933254590.

Passo 5

Agora x_{2}\approx 0,6933254590.
Calculo f(x_{2}) e f'(x_{2}):
f(x_{2})=e^{0,6933254590}-2\approx 2,0003565890-2=0,0003565890,
f'(x_{2})=e^{0,6933254590}\approx 2,0003565890.
Aplicando Newton:
x_{3}=x_{2}-\frac{f(x_{2})}{f'(x_{2})} \approx 0,6933254590-\frac{0,0003565890}{2,0003565890} \approx 0,6933254590-0,0001782820 \approx 0,6931471770.

Passo 6

Verificação do erro absoluto pedido ( 10^{-5}).
A raiz exata desta equação é x=\ln 2. Num valor decimal conhecido:
\ln 2\approx 0,6931471805599453.
Calculo o erro absoluto da aproximação x_{3}:
\big|x_{3}-\ln 2\big| \approx \big|0,6931471770-0,6931471805599453\big| \approx 3,56\times 10^{-9}.
Esse erro absoluto é muito menor que a tolerância exigida 10^{-5}. Portanto x_{3} já satisfaz a condição.
Observação: se a condição de parada fosse baseada na diferença entre iterados, temos
|x_{3}-x_{2}|\approx 0,0001782820,
que é maior que 10^{-5}, então nesse critério seria necessário mais uma iteração. Mas o enunciado pediu erro absoluto menor que 10^{-5} em relação à raiz verdadeira; usando esse critério vimos que x_{3} já atende à precisão exigida.

Resposta

0,6931471770

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