Em Engenharia Ambiental, a seguinte equação pode ser usada para calcular o nível de concentração de oxigênio c num rio, em função da distância, medida a partir do local de descarga de poluentes:
c(x)=10-20(e^-0,2 x-e^-0,75 x)
Calcule a distância para qual o nível de oxigênio desce para o valor 5. Utilize para aproximação inicial x0=1,0 e varepsilon1=varepsilon2=10^-2 ou no máximo 3 iterações.

Passo 1

O enunciado dá a concentração de oxigênio
c(x)=10-20l(e^-0,2x-e^-0,75xr)
e pede x tal que c(x)=5. Isto equivale a resolver a equação
f(x)=c(x)-5=0
Vamos usar o método de Newton com chute inicial x0=1,0, tolerâncias varepsilon1=varepsilon2=10^-2 e no máximo 3 iterações.

Passo 2

Definimos
f(x)=5-20l(e^-0,2x-e^-0,75xr)
e calculamos sua derivada
f'(x)=-20l(-0,2,e^-0,2x+0,75,e^-0,75xr) =4,e^-0,2x-15,e^-0,75x

Passo 3

A fórmula de Newton é
xn+1=xn-f(xn)f'(xn)
Pararemos se lvert f(xn)rvert<varepsilon1 ou lvert xn-xn-1rvert<varepsilon2, ou ao atingir 3 iterações.

Passo 4

Iteração 1 ( n=0):
e^-0,2cdot1,0=0,8187, e^-0,75cdot1,0=0,4724,
f(x0)=5-20(0,8187-0,4724)=-1,9272, f'(x0)=4cdot0,8187-15cdot0,4724=-3,8107,
x1=1,0--1,9272-3,8107=0,4944

Passo 5

Iteração 2 ( n=1):
e^-0,2cdot0,4944=0,9059, e^-0,75cdot0,4944=0,6901,
f(x1)=5-20(0,9059-0,6901)=0,6840, f'(x1)=4cdot0,9059-15cdot0,6901=-6,7279,
x2=0,4944-0,6840-6,7279=0,5961

Passo 6

Iteração 3 ( n=2):
e^-0,2cdot0,5961=0,8876, e^-0,75cdot0,5961=0,6394,
f(x2)=5-20(0,8876-0,6394)=0,0362, f'(x2)=4cdot0,8876-15cdot0,6394=-6,0406,
x3=0,5961-0,0362-6,0406=0,6021
Verificamos lvert x3-x2rvert=0,0060<0,01, então paramos.

Resposta

A distância para a qual c(x)=5 é aproximadamente
xapprox0,60

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