Determine os quatro primeiros termos de cada seqüência, analise a sua convergência e encontre o limite caso exista:
cn=e^n+n^2e^2 n-2 n,

Passo 1

Beleza, o enunciado pede três coisas sobre a sequência
cn=e^n+n^2e^2n-2n:
  1. calcular os quatro primeiros termos;
  2. analisar se ela converge;
  3. encontrar o limite, caso exista.
    O conteúdo aqui é “sequências e limites”. Para resolver precisamos:
  • Substituir pra achar os termos;
  • Entender como comparar crescimentos de funções (exponencial vs. polinomial);
  • Fazer um cálculo de limite usando divisão por uma potência dominante.

Passo 2

Vamos achar c1=e^1+1^2e^2cdot1-2cdot1 =e+1e^2-2 direto na fórmula:
  1. c2=e^2+2^2e^4-2cdot2 =e^2+4e^4-4 :
c3=e^3+3^2e^6-2cdot3 =e^3+9e^6-6
  1. c4=e^4+4^2e^8-2cdot4 =e^4+16e^8-8 :
  1. :
  1. :
Se quiser aproximar numericamente (sabendo ) dá algo como
.

Passo 3

Agora, convergência. A ideia principal é:
  • cn =e^n/e^2n+n^2/e^2n1-2n/e^2n =e^-n+n^2e^-2n1-2n,e^-2n (no denominador) cresce muito mais rápido que tanto quanto .
  • Sempre que o denominador “ganha de goleada” do numerador, a fração tende a zero.
Formalmente, dividimos numerador e denominador por :
Como :
  • ,
  • (exponencial domina polinomial),
  • .
    Logo o numerador vai a e o denominador vai a .
    Isso mostra que .

Resposta

Quatro primeiros termos:
c1=e+1e^2-2,; c2=e^2+4e^4-4,; c3=e^3+9e^6-6,; c4=e^4+16e^8-8
A sequência converge e o seu limite é
limntoinftycn=0

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