Verifique a convergência das seguintes séries
(f)
,
(f)
Passo 1
Beleza! A gente tem a série
Isso é um exercício de séries numéricas, mais especificamente de testar convergência usando a ideia de série geométrica (e, de brinde, de convergência absoluta). Vamos precisar:
- Entender como é o termo geral
. - Ver que metade dos termos some (fica zero) e a outra metade forma uma série geométrica.
- Aplicar a fórmula da soma de uma série geométrica
quando .
Passo 2
Vamos escrever o termo geral
de um jeito mais claro:
- Se
é ímpar, , então . - Se
é par, , então .
Logo
Passo 3
Agora, para
par escrevemos
(com
). Então, nos pares:
Como os termos ímpares são zero, a série original vira
Isso é uma série geométrica com
(primeiro termo) e razão
.
Passo 4
Lembrete da teoria da série geométrica:
No nosso caso, reescrevendo um pouquinho para casar com a fórmula:
E como
, ela converge.
Resposta
A série converge (e, de fato, converge absolutamente) e sua soma é