Verifique a convergência das seguintes séries
(f) sum 1+(-1)^n4^2 n,

Passo 1

Beleza! A gente tem a série
sumn=1^infty 1+(-1)^n4^2n
Isso é um exercício de séries numéricas, mais especificamente de testar convergência usando a ideia de série geométrica (e, de brinde, de convergência absoluta). Vamos precisar:
  1. Entender como é o termo geral .
  2. Ver que metade dos termos some (fica zero) e a outra metade forma uma série geométrica.
  3. Aplicar a fórmula da soma de uma série geométrica quando .

Passo 2

Vamos escrever o termo geral an = 1+(-1)^n4^2n = 0, & n ímpar, dfrac24^2n, & n par de um jeito mais claro:
  • Se é ímpar, , então .
  • Se é par, , então .
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í

Passo 3

Agora, para a2k = 24^2,(2k) = 24^4k = 2(4^4)^k = 2256^k par escrevemos sumn=1^infty an = sumk=1^infty 2256^k = 2 sumk=1^infty l(1256r)^k (com ). Então, nos pares:
Como os termos ímpares são zero, a série original vira
Isso é uma série geométrica com (primeiro termo) e razão .

Passo 4

Lembrete da teoria da série geométrica:
sumk=1^infty ar^,k-1 = a1-r se |r|<1
No nosso caso, reescrevendo um pouquinho para casar com a fórmula:
2sumk=1^infty l(tfrac1256r)^k = 2cdot tfrac12561-tfrac1256 = 2/256255/256 = 2255
E como , ela converge.

Resposta

A série converge (e, de fato, converge absolutamente) e sua soma é
sumn=1^infty 1+(-1)^n4^2n = 2255

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