Encontre a série de Maclaurin de f(x)=integral0^x e^-t^2 d t.

Passo 1

Beleza, o enunciado quer a série de Maclaurin de
f(x)=integral0^xe^-t^2,dt,
O conteúdo aqui é “séries de Maclaurin” (que é o caso especial da série de Taylor em torno de 0) e “integração termo a termo de uma série de potências”. Para resolver a gente vai precisar:
1) Saber a série de Maclaurin de e^u;
2) Substituir u=-t^2 e obter a série de e^-t^2;
3) Integrar cada termo dessa série de 0 até x.

Passo 2

Primeiro, lembra que a série de Maclaurin de
e^u
é
e^u=sumn=0^inftyu^nn!,
Aí, basta fazer u=-t^2:
e^-t^2=sumn=0^infty(-t^2)^nn! ;=;sumn=0^infty(-1)^n,t^2nn!,
Isso é só aplicar a fórmula trocando u por -t^2.

Passo 3

Agora a gente vai integrar termo a termo:
f(x)=integral0^xe^-t^2,dt =integral0^xsumn=0^infty(-1)^nt^2nn!,dt =sumn=0^infty(-1)^nn!integral0^xt^2n,dt,
Cada integral é simples:
integral0^xt^2n,dt=x^2n+12n+1,
Logo
f(x)=sumn=0^infty(-1)^nn!,x^2n+12n+1,
Pronto, é só isso!

Resposta

$$\boxed{,\int_{0}{x}e{-t^{2}},dt
=\sum_{n=0}{\infty}\frac{(-1){n}}{n!,(2n+1)},x^{2n+1},.}$$

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