Encontre o centro e o raio de convergência das series de potencias
a) sum n^2 n(n!)^n x^n

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão pede. A gente tem a série de potências
sumn=0^infty n^2n(n!)^n,x^n
e precisa descobrir dois caras: o centro dessa série e o raio de convergência.
Conteúdo principal: séries de potências e teste da raiz (ou fórmula do raio L = limsupntoinftyraiz[n]|an|, R=1L (ou R=infty se L=0) usando ).
O que vamos precisar:
  • Reconhecer a forma geral para achar o centro .
  • Usar o teste da raiz:

Passo 2

Primeiro, o centro da série. A série está escrita como
sum an,x^n,
ou seja, é .
Logo, o centro .

Passo 3

Agora, o raio de convergência. Vamos aplicar o teste da raiz:
L = limsupntoinfty raiz[n]l|anr|,
e então
R = 1L,
com as regras:
  • Se , .
  • Se , .
  • Se , .

Passo 4

Aqui, raiz[n]|an| = raiz[n]n^2n(n!)^n = n^2,n!, . Vamos calcular
L = limntoinfty n^2n!
Então
n! = 1cdot2cdot3cdots n
Para ver esse limite, basta lembrar que fatorial cresce muito mais rápido que qualquer polinômio. Por exemplo,
n^2n! ;xrightarrow[ntoinfty]; 0
vira algo monstruosamente grande, enquanto é “só” um quadrado.
Logo
Então .

Passo 5

Se R = infty , o teste da raiz diz que o raio de convergência é

Resposta

Centro
Raio de convergência

Exercícios relacionados