Determine a raiz de f(x)=\cos x+\ln x+x=0 com \varepsilon=10^{-2} e \bar{x} \in[0.1,0.5], utilizando os seguintes métodos numéricos:
Método da Bissecção;

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a raiz da função
f(x)=\cos x + \ln x + x = 0
no intervalo [0{,}1;0{,}5] com precisão \varepsilon=10^{-2}, usando o método da bissecção. Aqui vamos aplicar o Teorema do Valor Intermediário para garantir a existência de raiz e depois iterar o processo de bissecção até que o erro em x seja menor que 10^{-2}.

Passo 2

Verificamos que f é contínua em [0{,}1;0{,}5] (pois \cos x e x são contínuas em \mathbb{R} e \ln x é contínua para x>0). Calculamos os sinais em a=0{,}1 e b=0{,}5:
f(0{,}1)=\cos(0{,}1)+\ln(0{,}1)+0{,}1\approx 0{,}9950-2{,}3026+0{,}1=-1{,}2076<0,
f(0{,}5)=\cos(0{,}5)+\ln(0{,}5)+0{,}5\approx 0{,}8776-0{,}6931+0{,}5=0{,}6845>0.
Como f(0{,}1)\cdot f(0{,}5)<0, existe pelo menos uma raiz em [0{,}1;0{,}5].

Passo 3

O método da bissecção consiste em, a cada iteração k, tomar o ponto médio
c_k = \frac{a_{k-1}+b_{k-1}}{2},
avaliar f(c_k) e escolher o subintervalo [a_{k-1},c_k] ou [c_k,b_{k-1}] onde f muda de sinal. Parametrizamos o erro na abscissa por
\frac{b_k-a_k}{2}\le \varepsilon.

Passo 4

Iteração 1:
a_0=0{,}1, b_0=0{,}5.
c_1=\frac{0{,}1+0{,}5}{2}=0{,}3,\quad f(0{,}3)=\cos(0{,}3)+\ln(0{,}3)+0{,}3\approx 0{,}9553-1{,}2040+0{,}3=0{,}0513>0.
Como f(0{,}1)<0 e f(0{,}3)>0, tomamos a_1=0{,}1, b_1=0{,}3.

Passo 5

Iteração 2:
c_2=\frac{0{,}1+0{,}3}{2}=0{,}2,\quad f(0{,}2)\approx 0{,}9801-1{,}6094+0{,}2=-0{,}4293<0.
Sinal oposto em c_2 e b_1, logo a_2=0{,}2, b_2=0{,}3.

Passo 6

Iteração 3:
c_3=\frac{0{,}2+0{,}3}{2}=0{,}25,\quad f(0{,}25)\approx 0{,}9689-1{,}3863+0{,}25=-0{,}1674<0.
Assim a_3=0{,}25, b_3=0{,}3.

Passo 7

Iteração 4:
c_4=\frac{0{,}25+0{,}3}{2}=0{,}275,\quad f(0{,}275)\approx 0{,}9624-1{,}2910+0{,}275=-0{,}0536<0.
Portanto a_4=0{,}275, b_4=0{,}3.

Passo 8

Iteração 5:
c_5=\frac{0{,}275+0{,}3}{2}=0{,}2875,\quad f(0{,}2875)\approx 0{,}9590-1{,}2465+0{,}2875=-0{,}0001<0.
Ficamos com a_5=0{,}2875, b_5=0{,}3. Agora
\frac{b_5-a_5}{2}=\frac{0{,}3-0{,}2875}{2}=0{,}00625<0{,}01,
ou seja, atingimos a precisão exigida.

Resposta

A aproximação da raiz pelo método da bissecção, com \varepsilon=10^{-2}, é
\bar x \approx \frac{0{,}2875+0{,}3}{2}=0{,}29375,
com erro em x menor que 10^{-2}.

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