Determine a raiz de f(x)=x^3-10 cam erro de

Passo 1

Beleza, o problema pede pra gente encontrar a raiz da função
f(x)=x^3-10
com erro no máximo de. Isso é um exercício de Método Numérico (mais especificamente o Método da Bisseção). A gente vai precisar de:
1) Saber que f é contínua e trocar de sinal num intervalo [a,b] (Teorema do Valor Intermediário).
2) Saber dividir o intervalo ao meio e ver em qual metade a raiz “mora”.
3) Controlar o erro pela largura do intervalo.

Passo 2

Primeiro, escolhemos um intervalo [a,b] onde f(a)cdot f(b)<0.
Calculando rápido:
  • f(2)=2^3-10=8-10=-2 (negativo)
  • f(3)=3^3-10=27-10=17 (positivo)
    Então tem raiz em [2,3], porque a função muda de sinal e é contínua ali.

Passo 3

No Método da Bisseção, a gente define o ponto médio
c=a+b2
e calcula f(c). Se f(a)cdot f(c)<0, a raiz está em [a,c]; senão está em [c,b]. A cada iteração a largura do intervalo cai pela metade. Para garantir erro <=0,01, basta fazer iterações até que
b-a2^n<=0,02
(esse 0,02 é o dobro do erro tolerado, pois o erro na bisseção é metade da largura do intervalo).

Passo 4

Vamos calcular quantas iterações precisamos:
Queremos 1/2^n<=0,02implies2^n>=50implies n>=log2 50approx5,64.
Ou seja, n=6 iterações garantem de.

Passo 5

Agora fazemos as 6 iterações. Vou anotar (a,b,c,f(c)):
  1. a=2, b=3 → c=2,5 → f(2,5)=2,5^3-10=5,625>0 → troca b por c → [2,2,5]
  2. a=2, b=2,5 → c=2,25 → f(2,25)=11,39-10=1,39>0 → troca b → [2,2,25]
  3. a=2, b=2,25 → c=2,125 → f(2,125)=9,5957-10=-0,4043<0 → troca a → [2,125,2,25]
  4. a=2,125, b=2,25 → c=2,1875 → f(2,1875)=10,4675-10=0,4675>0 → troca b → [2,125,2,1875]
  5. a=2,125, b=2,1875 → c=2,15625 → f(2,15625)=10,025-10=0,0254>0 → troca b → [2,125,2,15625]
  6. a=2,125, b=2,15625 → c=2,140625 → f(2,140625)=9,8093-10=-0,1907<0 → troca a → [2,140625,2,15625]

Passo 6

Depois de 6 iterações, nosso intervalo é [2,140625 , 2,15625]. A largura dele é
2,15625-2,140625=0,015625
e o erro máximo é metade disso:
0,0156252=0,0078125<0,01,

Resposta

Aproximação da raiz de x^3-10=0 com erro <=0,01 é o ponto médio do último intervalo:
xapprox c=2,140625+2,156252=2,1484375,

Exercícios relacionados