Utilizando a fórmula para o limitante do erro,encontre o menor inteiro n de tal forma a garantir que com n divisões do intervalo [1,25] tenhamos precisão epsilon=10^-3 na aproximação de integral1^25 raizx d x pela Regra dos Trapézios.
Resposta: square

Passo 1

Beleza, primeiro deixa eu resumir o que a gente tem que fazer: calcular o número mínimo de subdivisões integral1^25raizx,dx para que a Regra dos Trapézios aproxime
com erro menor ou igual a .
Conteúdo envolvido: regra dos trapézios e limitante de erro (aquela fórmula que dá um ligado à segunda derivada da função). Vamos precisar de:
  1. a expressão da segunda derivada de ,
  2. a fórmula do limitante de erro da Regra dos Trapézios,
  3. resolver para .

Passo 2

Primeiro, calcula a segunda derivada de M = |f''(1)| = 14cdot1^3/2 = 14 .
- .
- .
O limitante de erro usa . Como é decrescente em , o máximo ocorre em :

Passo 3

A fórmula do limitante de erro da Regra dos Trapézios é
|ET| <= (b-a)^312,n^2,M,
onde |ET| <= (25-1)^312,n^2;14 = 24^348,n^2 = 1382448,n^2 = 288n^2 , e . Logo:
Queremos .

Passo 4

Agora é só resolver para 288n^2<=10^-3 Longrightarrow n^2 >= 288times10^3 = 288000 Longrightarrow n >= raiz288000approx536,66 :
Como tem de ser inteiro e garantir a precisão, a gente arredonda para cima: .

Resposta

O menor inteiro que garante erro é .

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