Determine a raiz de
usando o método da bisseção. Comece com
realize as primeiras cinco iterações. Considere 4 A.S. na mantissa, realizando arredondamento.
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra gente achar a raiz da função
usando o método da bisseção no intervalo inicial
. A gente vai fazer as primeiras cinco iterações e, em cada valor que calculamos, manter só quatro casas decimais depois da vírgula (arredondando).
Conteúdo envolvido:
- Teorema do valor intermediário (se
é contínua e troca de sinal em , tem raiz lá). - Método da bisseção (dividir o intervalo ao meio, ver em qual metade a função muda de sinal e repetir).
Para isso, a cada iteração
a gente:
- Calcula
. - Avalia
, e . - Decide se a raiz está em
ou , checando o sinal de . - Atualiza
ou .
Passo 2
Iteração 1:
a=0, b=1
c1 = (0 + 1)/2 = 0.5
f(0) = 0^2 – e^0 = –1.0000
f(1) = 1^2 – e^{-1} = 1.0000 – 0.3679 = 0.6321
f(0.5) = 0.25 – e^{-0.5} ≈ 0.25 – 0.6065 = –0.3565
a=0, b=1
c1 = (0 + 1)/2 = 0.5
f(0) = 0^2 – e^0 = –1.0000
f(1) = 1^2 – e^{-1} = 1.0000 – 0.3679 = 0.6321
f(0.5) = 0.25 – e^{-0.5} ≈ 0.25 – 0.6065 = –0.3565
Como f(0)·f(0.5) = (–1.0000)(–0.3565) > 0, a raiz está em [0.5,1].
Atualiza: a = 0.5, b = 1.
Atualiza: a = 0.5, b = 1.
Passo 3
Iteração 2:
a=0.5, b=1
c2 = (0.5 + 1)/2 = 0.75
f(0.5) = –0.3565 (já tínhamos)
f(0.75) = 0.75^2 – e^{-0.75} = 0.5625 – 0.4724 = 0.0901
a=0.5, b=1
c2 = (0.5 + 1)/2 = 0.75
f(0.5) = –0.3565 (já tínhamos)
f(0.75) = 0.75^2 – e^{-0.75} = 0.5625 – 0.4724 = 0.0901
f(0.5)·f(0.75) = (–0.3565)(0.0901) < 0, logo raiz em [0.5,0.75].
Atualiza: a = 0.5, b = 0.75.
Atualiza: a = 0.5, b = 0.75.
Passo 4
Iteração 3:
a=0.5, b=0.75
c3 = (0.5 + 0.75)/2 = 0.6250
f(0.6250) = 0.6250^2 – e^{-0.6250} = 0.3906 – 0.5353 = –0.1447
a=0.5, b=0.75
c3 = (0.5 + 0.75)/2 = 0.6250
f(0.6250) = 0.6250^2 – e^{-0.6250} = 0.3906 – 0.5353 = –0.1447
f(0.5)·f(0.6250) = (–0.3565)(–0.1447) > 0, raiz em [0.6250,0.75].
Atualiza: a = 0.6250, b = 0.75.
Atualiza: a = 0.6250, b = 0.75.
Passo 5
Iteração 4:
a=0.6250, b=0.75
c4 = (0.6250 + 0.75)/2 = 0.6875
f(0.6875) = 0.6875^2 – e^{-0.6875} = 0.4727 – 0.5034 = –0.0307
a=0.6250, b=0.75
c4 = (0.6250 + 0.75)/2 = 0.6875
f(0.6875) = 0.6875^2 – e^{-0.6875} = 0.4727 – 0.5034 = –0.0307
f(0.6250)·f(0.6875) = (–0.1447)(–0.0307) > 0, raiz em [0.6875,0.75].
Atualiza: a = 0.6875, b = 0.75.
Atualiza: a = 0.6875, b = 0.75.
Passo 6
Iteração 5:
a=0.6875, b=0.75
c5 = (0.6875 + 0.75)/2 = 0.7188
f(0.7188) = 0.7188^2 – e^{-0.7188} ≈ 0.5166 – 0.4877 = 0.0289
a=0.6875, b=0.75
c5 = (0.6875 + 0.75)/2 = 0.7188
f(0.7188) = 0.7188^2 – e^{-0.7188} ≈ 0.5166 – 0.4877 = 0.0289
f(0.6875)·f(0.7188) = (–0.0307)(0.0289) < 0, logo raiz em [0.6875,0.7188].
Atualiza: a = 0.6875, b = 0.7188.
Atualiza: a = 0.6875, b = 0.7188.
Resposta
Depois de cinco iterações, o ponto médio é
Então a raiz aproximada de
é x ≈ 0.7188.