Determine a raiz de f(x)=x^2-e^-x usando o método da bisseção. Comece com a=0 eb=1 e realize as primeiras cinco iterações. Considere 4 A.S. na mantissa, realizando arredondamento.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente achar a raiz da função
f(x)=x^2 - e^-x
usando o método da bisseção no intervalo inicial . A gente vai fazer as primeiras cinco iterações e, em cada valor que calculamos, manter só quatro casas decimais depois da vírgula (arredondando).
Conteúdo envolvido:
  • Teorema do valor intermediário (se é contínua e troca de sinal em , tem raiz lá).
  • Método da bisseção (dividir o intervalo ao meio, ver em qual metade a função muda de sinal e repetir).
Para isso, a cada iteração a gente:
  1. Calcula .
  2. Avalia , e .
  3. Decide se a raiz está em ou , checando o sinal de .
  4. Atualiza ou .

Passo 2

Iteração 1:
a=0, b=1
c1 = (0 + 1)/2 = 0.5
f(0) = 0^2 – e^0 = –1.0000
f(1) = 1^2 – e^{-1} = 1.0000 – 0.3679 = 0.6321
f(0.5) = 0.25 – e^{-0.5} ≈ 0.25 – 0.6065 = –0.3565
Como f(0)·f(0.5) = (–1.0000)(–0.3565) > 0, a raiz está em [0.5,1].
Atualiza: a = 0.5, b = 1.

Passo 3

Iteração 2:
a=0.5, b=1
c2 = (0.5 + 1)/2 = 0.75
f(0.5) = –0.3565 (já tínhamos)
f(0.75) = 0.75^2 – e^{-0.75} = 0.5625 – 0.4724 = 0.0901
f(0.5)·f(0.75) = (–0.3565)(0.0901) < 0, logo raiz em [0.5,0.75].
Atualiza: a = 0.5, b = 0.75.

Passo 4

Iteração 3:
a=0.5, b=0.75
c3 = (0.5 + 0.75)/2 = 0.6250
f(0.6250) = 0.6250^2 – e^{-0.6250} = 0.3906 – 0.5353 = –0.1447
f(0.5)·f(0.6250) = (–0.3565)(–0.1447) > 0, raiz em [0.6250,0.75].
Atualiza: a = 0.6250, b = 0.75.

Passo 5

Iteração 4:
a=0.6250, b=0.75
c4 = (0.6250 + 0.75)/2 = 0.6875
f(0.6875) = 0.6875^2 – e^{-0.6875} = 0.4727 – 0.5034 = –0.0307
f(0.6250)·f(0.6875) = (–0.1447)(–0.0307) > 0, raiz em [0.6875,0.75].
Atualiza: a = 0.6875, b = 0.75.

Passo 6

Iteração 5:
a=0.6875, b=0.75
c5 = (0.6875 + 0.75)/2 = 0.7188
f(0.7188) = 0.7188^2 – e^{-0.7188} ≈ 0.5166 – 0.4877 = 0.0289
f(0.6875)·f(0.7188) = (–0.0307)(0.0289) < 0, logo raiz em [0.6875,0.7188].
Atualiza: a = 0.6875, b = 0.7188.

Resposta

Depois de cinco iterações, o ponto médio é
c5 = 0.7188
Então a raiz aproximada de é x ≈ 0.7188.

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