A expansão em série de Taylor de cos (x) é dada por:
cos (x)=1-x^22!+x^44!-x^66!+x^88!-x^1010!+ldots
Use os quatro primeiros termos para calcular o valor de cos (pi / 3). Calcule o erro de truncamento, sabendo que o valor exato é de 1 / 2. Use o formato decimal com seis algarismos significativos (aplique arredondamento).

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão pede. A matéria aqui é série de Taylor de uma função (no caso, cos x). O enunciado já deu a fórmula geral:
cos(x)=1-x^22!+x^44!-x^66!+cdots
A ideia é usar só os quatro primeiros termos dessa série para aproximar , arredondar o resultado em decimal com seis algarismos significativos e, por fim, calcular o erro de truncamento sabendo que o valor exato é .

Passo 2

Primeiro escolhemos . Vamos escrever cada termo da expansão até a potência :
Termo 1:
Termo 2:
Termo 3:
Termo 4:
Aqui usamos a definição de fatorial ( ) e a ideia de série de Taylor: cada termo é .

Passo 3

Agora, calculando numericamente (com uma boa calculadora ou software):
-(pi/3)^22 approx -0.54831136 , logo
+(pi/3)^424approx +0.05009313
-(pi/3)^6720approx -0.00183193 , então
1 - 0.54831136 + 0.05009313 - 0.00183193 approx 0.49994984
, daí
Somando tudo:

Passo 4

Arredondando esse resultado para ter seis algarismos significativos, a gente fica com
cos(pi/3)approx 0,499950
(Lembre que seis algarismos significativos são os seis primeiros dígitos a partir do primeiro não-nulo.)

Passo 5

Erro de truncamento é a diferença entre o valor exato ( l|aprox - exator| = l|0,49994984 - 0,5r| = 0,00005016 ) e a aproximação. Então:
Se quiser, dá pra arredondar o erro também (mas normalmente ele já tá pequeninho).

Resposta

Aproximação de com quatro termos: 0,499950
Erro de truncamento: aproximadamente 0,00005016.

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