Use os quatro primeiros termos para calcular o valor de . Calcule o erro de truncamento, sabendo que o valor exato é de . Use o formato decimal com seis algarismos significativos (aplique arredondamento).
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão pede. A matéria aqui é série de Taylor de uma função (no caso, cos x). O enunciado já deu a fórmula geral:
A ideia é usar só os quatro primeiros termos dessa série para aproximar , arredondar o resultado em decimal com seis algarismos significativos e, por fim, calcular o erro de truncamento sabendo que o valor exato é .
Passo 2
Primeiro escolhemos . Vamos escrever cada termo da expansão até a potência :
Termo 1:
Termo 2:
Termo 3:
Termo 4:
Aqui usamos a definição de fatorial () e a ideia de série de Taylor: cada termo é .
Passo 3
Agora, calculando numericamente (com uma boa calculadora ou software): , logo
, então
, daí
Somando tudo:
Passo 4
Arredondando esse resultado para ter seis algarismos significativos, a gente fica com
(Lembre que seis algarismos significativos são os seis primeiros dígitos a partir do primeiro não-nulo.)
Passo 5
Erro de truncamento é a diferença entre o valor exato () e a aproximação. Então:
Se quiser, dá pra arredondar o erro também (mas normalmente ele já tá pequeninho).
Resposta
Aproximação de com quatro termos: 0,499950
Erro de truncamento: aproximadamente 0,00005016.