Determine a(s) raiz(es) das funçães abaixo, usando o método da Falsa posição com tolerância varepsilon=10^-3.
© f(x)=sin x-x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá: o exercício pede pra achar a raiz da função
f(x)=sin x - x^2
usando o método da Falsa Posição (que é um método de “caça” de raiz em um intervalo onde a função troca de sinal). A matéria aqui é Métodos Numéricos / Equações Não Lineares, e vamos precisar de:
1) Escolher um intervalo c ;=;a,f(b);-;b,f(a)f(b)-f(a) em que e tenham sinais opostos (isso garante uma raiz por Bolzano).
2) Saber a fórmula da falsa posição:

3) Checar , atualizar o intervalo e repetir até .

Passo 2

Primeiro, precisamos de um intervalo inicial. Testando uns pontos:

  • Logo, temos e , ou seja, existe raiz em .

Passo 3

Aplicando a fórmula da falsa posição para achar c1=0.5cdot(-0.1585);-;1cdot(0.2294)-0.1585-0.2294 =-0.07925-0.2294-0.3879approx0.7960 :
Calculamos .
Como (mesmo sinal de ), substituímos a = 0.7960 e mantemos b = 1.

Passo 4

Agora em c2=0.7960cdot(-0.1585);-;1cdot(0.0805)-0.1585-0.0805 approx0.8648, , achamos
f(c2)=sin(0.8648)-0.8648^2approx0.7595-0.7479=+0.0116
com
Ainda positivo, logo novo intervalo .

Passo 5

No intervalo c3=0.8648cdot(-0.1585);-;1cdot(0.0116)-0.1585-0.0116 approx0.8742, :
f(c3)=sin(0.8742)-0.8742^2approx0.7674-0.7642=+0.0032
e
Ainda , então intervalo vira .

Passo 6

Mais uma iteração em c4=0.8742cdot(-0.1585);-;1cdot(0.0032)-0.1585-0.0032 approx0.8774, :
f(c4)=sin(0.8774)-0.8774^2approx0.7694-0.7698=-0.0004,
e
agora . Ou seja, já atingimos a tolerância!

Resposta

A raiz aproximada, com boxedxapprox0.8774 , é

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