Determine a(s) raiz(es) das funçães abaixo, usando o método da Falsa posição com tolerância varepsilon=10^-3.
(b) f(x)=ln x-x+2

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra a gente achar as raízes de
f(x)=ln x - x + 2
usando o método da Falsa Posição (ou Regula Falsi) com tolerância c = a,f(b) - b,f(a)f(b)-f(a) .
Isso cai em Análise Numérica, mais especificamente em métodos de localização de raízes.
O que vamos precisar:
  • Escolher intervalos onde .
  • A fórmula da falsa posição:
  • Iterar trocando ou até .

Passo 2

Primeiro, identificamos onde muda de sinal (ou seja, onde f(0.1)=ln(0.1)-0.1+2approx -2.3026-0.1+2=-0.4026 ). Como f(0.5)=ln(0.5)-0.5+2approx -0.6931-0.5+2=0.8069 só existe para , testamos:
  • Em :
  • Em :
Como e , há uma raiz em .
Também testamos lá em cima:
  • Em :
  • Em :
    Logo, há outra raiz em .

Passo 3

Agora aplicamos a Falsa Posição em c1=0.1cdot f(0.5)-0.5cdot f(0.1)f(0.5)-f(0.1) =0.1cdot0.8069-;0.5cdot(-0.4026)0.8069-(-0.4026) approx0.2332, f(c1)approx0.3118 . Vamos anotar cada iteração até c2=0.1cdot0.3118-0.2332cdot(-0.4026)0.3118-(-0.4026) approx0.1752, f(c2)approx0.0828 :
Definimos c3approx0.1624, f(c3)approx0.0196 Longrightarrow,[a3,b3]=[0.1,0.1624] , c4approx0.1595, f(c4)approx0.0055 Longrightarrow,[a4,b4]=[0.1,0.1595] .
Iteração 1:
c5approx0.1587, f(c5)approx0.0023 Longrightarrow,[a5,b5]=[0.1,0.1587]
Como c6approx0.1584, f(c6)approx0.0016 Longrightarrow,[a6,b6]=[0.1,0.1584] , trocamos c7approx0.1582, f(c7)approx0.0008<10^-3 , ou seja, x1approx0.1582 .
Iteração 2:
Ainda , então .
Iteração 3:
Iteração 4:
Iteração 5:
Iteração 6:
Iteração 7:
Como , paramos. A primeira raiz é

Passo 4

Agora em c1=3cdot(-0.6137)-4cdot0.0986-0.6137-0.0986 approx3.1385, f(c1)approx0.0055>0 :
Definimos c2=3.1385cdot(-0.6137)-4cdot0.0055-0.6137-0.0055 approx3.1460, f(c2)approx-0.0005 , x2approx3.1460 .
Iteração 1:
Como , trocamos , ficando .
Iteração 2:
Aqui , então encerramos. A segunda raiz é

Resposta

As raízes de boxedx1approx0.1582, x2approx3.1460 pelo método da Falsa Posição com são aproximadamente

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