5^ a Questão: Encontre uma aproximação para raiz2 com erro inferior 10^-2 pelo método da bissecção. E se desejássemos uma aproximação para raiz2 com erro inferior a 10^-5, ou seja, coincidindo com o valor de raiz2 até pelo menos cinco casas decimais? Seria possível dizer quantas iterações precisaríamos executar?

Passo 1

Então, o enunciado pede pra gente achar uma aproximação de √2 usando o método da bissecção, com erro menor que 10⁻². Depois, pergunta “e se quisermos erro <10⁻⁵ (cinco casas decimais), quantas iterações precisaríamos?”. A matéria aqui é Método Numérico (bissecção), e vamos precisar de:
  1. definir f(x)=x²–2;
  2. usar o fato de que f(1)<0 e f(2)>0, logo há raiz em [1,2];
  3. saber que, após n subdivisões, o comprimento do intervalo fica (b–a)/2ⁿ, o que dá nossa estimativa de erro.

Passo 2

Teoria rápida do método da bissecção:
  1. Você tem um intervalo [a,b] onde f(a)·f(b)<0 ⇒ existe raiz x* em (a,b).
  2. Atreves desse intervalo, você calcula o ponto médio m = (a+b)/2.
  3. Se f(m)=0, achou a raiz exata; senão, escolhe o subintervalo [a,m] ou [m,b] onde f muda de sinal.
  4. Repete até que o comprimento do intervalo ≤ sua tolerância desejada.
    Como a cada iteração dividimos o intervalo ao meio, depois de n iterações o comprimento é
Ln ;=;b-a2^n
E garantimos que o erro |m–x*| ≤ L_n.

Passo 3

Queremos erro <10⁻². Então impomos
b-a2^n;<=;10^-2 Longrightarrow; 12^n;<=;10^-2 Longrightarrow; 2^n;>=;100 Longrightarrow; n;>=;log2(100)approx6,64
Como n tem que ser inteiro, usamos n=7 iterações.

Passo 4

Vamos de fato bissetar 7 vezes em [1,2].
  1. iteração 1: a₀=1, b₀=2 ⇒ m₁=1,5, f(m₁)=1,5²–2=0,25>0 ⇒ raiz em [1,1,5].
  2. iteração 2: a₁=1, b₁=1,5 ⇒ m₂=1,25, f(m₂)=1,25²–2=–0,4375<0 ⇒ raiz em [1,25,1,5].
  3. iteração 3: [1,25,1,5] ⇒ m₃=1,375, f(m₃)=–0,1094 ⇒ raiz em [1,375,1,5].
  4. iteração 4: [1,375,1,5] ⇒ m₄=1,4375, f(m₄)=+0,0664 ⇒ raiz em [1,375,1,4375].
  5. iteração 5: [1,375,1,4375] ⇒ m₅=1,40625, f(m₅)=–0,0225 ⇒ raiz em [1,40625,1,4375].
  6. iteração 6: [1,40625,1,4375] ⇒ m₆=1,421875, f(m₆)=+0,0213 ⇒ raiz em [1,40625,1,421875].
  7. iteração 7: [1,40625,1,421875] ⇒ m₇=1,4140625, f(m₇)≈–0,00043 ⇒ intervalo final [1,4140625,1,421875].
O ponto médio da última iteração, 1,4140625, já tem erro ≤1/2⁷≈0,0078 <10⁻².

Passo 5

Agora, se queremos erro <10⁻⁵, repetimos o mesmo raciocínio:
12^n<=10^-5 ;Longrightarrow; 2^n>=10^5 ;Longrightarrow; n>=log2(10^5)approx16,61 ;Longrightarrow; n=17 iterações çõ

Resposta

Aproximação de √2 com erro <10⁻²: 1,4140625 (obtida em 7 iterações).
Para erro <10⁻⁵ (cinco casas decimais), precisaríamos de 17 iterações.

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