Determine a raiz de
, pelos Métodos da Bisseção e Newton-Raphson, considerando
e critério de parada
:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a raiz da função
no intervalo
(ou seja,
) usando os métodos da Bisseção e de Newton–Raphson, com critério de parada
.\n
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
As tarefas são duas: (1) aplicar a Bisseção e (2) aplicar Newton–Raphson, cada uma com o seu critério de parada (vamos especificar e usar critérios padrão de forma explícita nas próximas etapas).
Passo 2
Preparação e simplificação da função (isso facilita contas): como
no intervalo dado é positivo, temos
. Então a equação
é equivalente a
É conveniente definir a função auxiliar
pois a raiz de
é a mesma raiz de
(apenas um fator
de diferença). Trabalhar com
torna a escrita do método de Newton mais direta. Note: sempre que eu usar
estou visando
, e os sinais/raiz coincidem.
Passo 3
Verificação do teorema do valor intermediário (garantir existência de raiz no intervalo): calculo
nas extremidades do intervalo
.
Como
e
, pela propriedade de continuidade de
existe pelo menos uma raiz no intervalo pelo Teorema do Valor Intermediário. Como
é estritamente crescente (veremos a derivada em seguida), essa raiz é única.
Passo 4
Breve aula: método da Bisseção (ideia e critério)
- Ideia: a cada passo pegamos o ponto médio
. Se tem sinal oposto a , a raiz fica em ; caso contrário, fica em . - Critério de parada escolhido aqui: pare quando o comprimento do intervalo
ficar menor que (critério padrão e simples de garantir precisão no ). Também podemos parar se , mas usarei o primeiro para a Bisseção. - Vantagem: sempre converge; desvantagem: converge linearmente (mais lento que Newton).
Passo 5
Aplicando Bisseção passo a passo (mostro cada intervalo e o valor de
no ponto médio). Inicialmente
,
. Para cálculos de
usei valores tabelados com precisão suficiente para decisão de sinal.
-
.
.
Sinal mudou entree , então novo intervalo . -
.
.
Raiz em. -
.
.
Raiz em. -
.
.
Raiz em. -
.
.
Raiz em. -
.
.
Raiz em. -
.
fica positivo (interpolando os valores: entre e resultou em ).
Raiz em.
Agora o comprimento do intervalo é
Ainda maior que
, então mais um passo:
-
.
Agora o novo comprimento seria, então paramos (critério satisfeito). O ponto aproximado da raiz pela Bisseção é o centro do último intervalo considerado, que é .
Passo 6
Interpretação do resultado da Bisseção:
- Bisseção fornece a garantia intervalar; a raiz está dentro do último intervalo
e o ponto médio é uma aproximação com erro máximo menor que em . - Observação prática: para
a Bisseção exigiu 8 iterações (poderíamos contar formulaicamente como , mas mostrei as iterações para aprender a fazer na prova).
Passo 7
Breve aula: método de Newton–Raphson (ideia e fórmula)
- Ideia: aproximar
por sua reta tangente em um palpite e usar o zero dessa reta como próximo palpite. A fórmula é
- Vantagem: convergência quadrática perto da raiz (muito rápido se o palpite inicial for razoável). Desvantagem: precisa de derivada e pode divergir se começar muito mal.
- Derivada da nossa função auxiliar
: como ,
(Explicação: derivada de
é
, derivada de
é
.)
Passo 8
Escolha do palpite inicial e critério de parada para Newton:
- Vou escolher
(um palpite situado no interior do intervalo; outra escolha possível é o ponto médio). - Critério de parada: pare quando
(critério usual e prático para Newton).
Agora as iterações (faço contas com arredondamento suficiente para identificar a convergência):
Iteração 0 → 1:
Verificando a diferença:
logo continuar.
Iteração 1 → 2:
(uma forma rápida de ver que é pequeno:
já está bem próximo da raiz).
Agora a diferença:
então o critério
é satisfeito e paramos. O valor aproximado encontrado por Newton é
.
Nota: com cálculo mais preciso (menos arredondamentos) Newton converge rapidamente para
. Com nosso critério
a iteração acima já cumpre a condição; se pedissem precisão maior repetiríamos mais iterações.
Passo 9
Comparação e observações finais:
- Bisseção deu uma aproximação garantida por intervalo:
com erro em menor que . A vantagem dessa resposta é que sabemos o erro máximo (tamanho do intervalo/2). - Newton–Raphson convergiu muito mais rápido (apenas 2 iterações até atingir
), fornecendo com nosso nível de arredondamento. Com aritmética mais precisa Newton tenderia ao valor conhecido (solução da equação , que é — isto é só um comentário adicional).
Resposta
Bisseção:
Newton–Raphson:
Newton–Raphson: