Determine a raiz de y(x)=\ln \left(x^{2}\right)+2 x, pelos Métodos da Bisseção e Newton-Raphson, considerando \mathrm{x} \in\left[\frac{2}{4}, \frac{3}{4}\right] e critério de parada \varepsilon=10^{-3} :

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a raiz da função y(x)=\ln\bigl(x^{2}\bigr)+2x no intervalo \left[\tfrac{2}{4},\tfrac{3}{4}\right] (ou seja, [0,5,\,0,75]) usando os métodos da Bisseção e de Newton–Raphson, com critério de parada \varepsilon=10^{-3}.\n
Informações relevantes fornecidas:
\text{função } y(x)=\ln\bigl(x^{2}\bigr)+2x,çã
\text{intervalo } \left[\tfrac{2}{4},\tfrac{3}{4}\right]=[0,5,\,0,75],
\text{critério de parada } \varepsilon=10^{-3}.é
As tarefas são duas: (1) aplicar a Bisseção e (2) aplicar Newton–Raphson, cada uma com o seu critério de parada (vamos especificar e usar critérios padrão de forma explícita nas próximas etapas).

Passo 2

Preparação e simplificação da função (isso facilita contas): como x no intervalo dado é positivo, temos \ln\bigl(x^{2}\bigr)=2\ln x. Então a equação y(x)=0 é equivalente a
2\ln x + 2x = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \ln x + x = 0.
É conveniente definir a função auxiliar
g(x)=\ln x + x,
pois a raiz de g é a mesma raiz de y (apenas um fator 2 de diferença). Trabalhar com g torna a escrita do método de Newton mais direta. Note: sempre que eu usar g estou visando y=2g, e os sinais/raiz coincidem.

Passo 3

Verificação do teorema do valor intermediário (garantir existência de raiz no intervalo): calculo g nas extremidades do intervalo [0,5,\,0,75].
g(0,5)=\ln(0,5)+0,5=-0,693147\ldots +0,5\approx -0,193147\\ (<0),
g(0,75)=\ln(0,75)+0,75=-0,287682\ldots +0,75\approx 0,462318\\ (>0).
Como g(0,5)<0 e g(0,75)>0, pela propriedade de continuidade de g existe pelo menos uma raiz no intervalo pelo Teorema do Valor Intermediário. Como g é estritamente crescente (veremos a derivada em seguida), essa raiz é única.

Passo 4

Breve aula: método da Bisseção (ideia e critério)
  • Ideia: a cada passo pegamos o ponto médio c=(a+b)/2. Se g\text{(c)} tem sinal oposto a g(a), a raiz fica em [a,c]; caso contrário, fica em [c,b].
  • Critério de parada escolhido aqui: pare quando o comprimento do intervalo (b-a) ficar menor que \varepsilon (critério padrão e simples de garantir precisão no x). Também podemos parar se |g\text{(c)}|<\varepsilon, mas usarei o primeiro para a Bisseção.
  • Vantagem: sempre converge; desvantagem: converge linearmente (mais lento que Newton).

Passo 5

Aplicando Bisseção passo a passo (mostro cada intervalo e o valor de g no ponto médio). Inicialmente a_0=0,5, b_0=0,75. Para cálculos de \ln usei valores tabelados com precisão suficiente para decisão de sinal.
  1. c_1=(0,5+0,75)/2=0,625.
    \;g(0,625)=\ln(0,625)+0,625=-0,470005\ldots +0,625\approx 0,154995>0.
    Sinal mudou entre a_0 e c_1, então novo intervalo [0,5,\,0,625].
  2. c_2=(0,5+0,625)/2=0,5625.
    \;g(0,5625)=\ln(0,5625)+0,5625=-0,575364\ldots +0,5625\approx -0,012864<0.
    Raiz em [0,5625,\,0,625].
  3. c_3=(0,5625+0,625)/2=0,59375.
    \;g(0,59375)=\ln(0,59375)+0,59375\approx -0,521297 +0,59375\approx 0,072453>0.
    Raiz em [0,5625,\,0,59375].
  4. c_4=(0,5625+0,59375)/2=0,578125.
    \;g(0,578125)\approx -0,547965 +0,578125\approx 0,030160>0.
    Raiz em [0,5625,\,0,578125].
  5. c_5=(0,5625+0,578125)/2=0,5703125.
    \;g(0,5703125)\approx -0,561573 +0,5703125\approx 0,0087395>0.
    Raiz em [0,5625,\,0,5703125].
  6. c_6=(0,5625+0,5703125)/2=0,56640625.
    \;g(0,56640625)\approx -0,568443 +0,56640625\approx -0,00203675<0.
    Raiz em [0,56640625,\,0,5703125].
  7. c_7=(0,56640625+0,5703125)/2=0,568359375.
    \;g(0,568359375) fica positivo (interpolando os valores: entre -0,0020 e 0,0087 resultou em g(c_7)\approx 0,00335>0).
    Raiz em [0,56640625,\,0,568359375].
Agora o comprimento do intervalo é
b_7-a_7=0,568359375-0,56640625=0,001953125.
Ainda maior que \varepsilon=10^{-3}, então mais um passo:
  1. c_8=(0,56640625+0,568359375)/2=0,5673828125.
    Agora o novo comprimento seria 0,0009765625 < 10^{-3}, então paramos (critério (b-a)<\varepsilon satisfeito). O ponto aproximado da raiz pela Bisseção é o centro do último intervalo considerado, que é c_8=0,5673828125.

Passo 6

Interpretação do resultado da Bisseção:
  • Bisseção fornece a garantia intervalar; a raiz está dentro do último intervalo [0,56640625,\,0,568359375] e o ponto médio c_8=0,5673828125 é uma aproximação com erro máximo menor que \varepsilon=10^{-3} em x.
  • Observação prática: para \varepsilon=10^{-3} a Bisseção exigiu 8 iterações (poderíamos contar formulaicamente como \lceil \log_2((b-a)_0/\varepsilon)\rceil, mas mostrei as iterações para aprender a fazer na prova).

Passo 7

Breve aula: método de Newton–Raphson (ideia e fórmula)
  • Ideia: aproximar g(x) por sua reta tangente em um palpite x_n e usar o zero dessa reta como próximo palpite. A fórmula é
x_{n+1}=x_n - \frac{g(x_n)}{g'(x_n)}.
  • Vantagem: convergência quadrática perto da raiz (muito rápido se o palpite inicial for razoável). Desvantagem: precisa de derivada e pode divergir se começar muito mal.
  • Derivada da nossa função auxiliar g: como g(x)=\ln x + x,
g'(x)=\frac{1}{x}+1.
(Explicação: derivada de \ln x é 1/x, derivada de x é 1.)

Passo 8

Escolha do palpite inicial e critério de parada para Newton:
  • Vou escolher x_0=0,6 (um palpite situado no interior do intervalo; outra escolha possível é o ponto médio).
  • Critério de parada: pare quando |x_{n+1}-x_n|<\varepsilon (critério usual e prático para Newton).
Agora as iterações (faço contas com arredondamento suficiente para identificar a convergência):
Iteração 0 → 1:
x_0=0,6,
g(0,6)=\ln(0,6)+0,6\approx -0,5108256 +0,6 = 0,0891744,
g'(0,6)=\frac{1}{0,6}+1\approx 1,6666667 +1 = 2,6666667,
\Delta x = \frac{g(0,6)}{g'(0,6)}\approx \frac{0,0891744}{2,6666667}\approx 0,0334404,
x_1 = x_0 - \Delta x \approx 0,6 - 0,0334404 = 0,5665596.
Verificando a diferença:
|x_1-x_0| \approx 0,0334404 > 10^{-3},
logo continuar.
Iteração 1 → 2:
g(0,5665596)=\ln(0,5665596)+0,5665596\approx -0,568755\ldots +0,5665596\approx -0,002195\\ (\text{aprox.}),
(uma forma rápida de ver que é pequeno: x_1 já está bem próximo da raiz).
g'(0,5665596)=\frac{1}{0,5665596}+1\approx 1,7648 +1 = 2,7648\\ (\text{aprox.}),
\Delta x \approx \frac{-0,002195}{2,7648}\approx -0,000794,
x_2 = x_1 - \Delta x \approx 0,5665596 -(-0,000794) \approx 0,5673536.
Agora a diferença:
|x_2-x_1|\approx 0,000794 < 10^{-3},
então o critério |x_{n+1}-x_n|<\varepsilon é satisfeito e paramos. O valor aproximado encontrado por Newton é x_2\approx 0,5673536.
Nota: com cálculo mais preciso (menos arredondamentos) Newton converge rapidamente para x\approx 0,56714329. Com nosso critério \varepsilon=10^{-3} a iteração acima já cumpre a condição; se pedissem precisão maior repetiríamos mais iterações.

Passo 9

Comparação e observações finais:
  • Bisseção deu uma aproximação garantida por intervalo: x\approx 0,5673828125 com erro em x menor que 10^{-3}. A vantagem dessa resposta é que sabemos o erro máximo (tamanho do intervalo/2).
  • Newton–Raphson convergiu muito mais rápido (apenas 2 iterações até atingir |x_{n+1}-x_n|<10^{-3}), fornecendo x\approx 0,5673536 com nosso nível de arredondamento. Com aritmética mais precisa Newton tenderia ao valor conhecido x\approx 0,56714329\ldots (solução da equação x e^{x}=1, que é x=W(1) — isto é só um comentário adicional).

Resposta

Bisseção: x\approx 0,5673828125
Newton–Raphson: x\approx 0,5673536

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