Determine a raiz na f(x)=\operatorname{sen}(x)+\operatorname{sen}(4 x), no intervalo \left[\frac{3 \pi}{4}, \frac{7 \pi}{8}\right], pelos Métodos da Bisseção e Newton-Raphson, considerando a tolerância \varepsilon=10^{-3} :

Passo 1

O enunciado pede: encontrar uma raiz da função f(x)=\operatorname{sen}(x)+\operatorname{sen}(4x) no intervalo \left[\frac{3\pi}{4},\frac{7\pi}{8}\right] usando os métodos da Bisseção e de Newton-Raphson, com tolerância \varepsilon=10^{-3}.
Informações dadas e úteis:
\text{função: } f(x)=\operatorname{sen}(x)+\operatorname{sen}(4x).çã
Intervalo:
a=\frac{3\pi}{4}\approx 2{,}356194490192345,\qquad b=\frac{7\pi}{8}\approx 2{,}748893571891069.
Tolerância:
\varepsilon=10^{-3}.
Vou usar esses dados sem perguntar nada mais. Antes de começar, calculo os valores em a e b para checar se há mudança de sinal (condição da bisseção):
f\!\left(\frac{3\pi}{4}\right)=\operatorname{sen}\!\left(\frac{3\pi}{4}\right)+\operatorname{sen}\!\left(3\pi\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}+0\approx 0{,}7071067812>0,
f\!\left(\frac{7\pi}{8}\right)=\operatorname{sen}\!\left(\frac{7\pi}{8}\right)+\operatorname{sen}\!\left(\frac{7\pi}{2}\right)\approx 0{,}3826834324-1=-0{,}6173165676<0.
Como f(a)\cdot f(b)<0, existe pelo menos uma raiz no intervalo por causa do Teorema do Valor Intermediário.
Observação útil (que vou usar para calcular f(x) de forma prática): a soma de senos pode ser escrita como
\operatorname{sen}(u)+\operatorname{sen}(v)=2\operatorname{sen}\!\left(\frac{u+v}{2}\right)\cos\!\left(\frac{u-v}{2}\right).
Aplicando em f(x):
f(x)=2\operatorname{sen}\!\left(\frac{5x}{2}\right)\cos\!\left(\frac{3x}{2}\right),
o que ajuda a avaliar f(x) numericamente (especialmente quando \frac{5x}{2} está próximo de múltiplos de 2\pi, deixando um ângulo pequeno para usar aproximações).

Passo 2

Método da Bisseção — explicação e critério de parada.
Ideia: se f(a) e f(b) têm sinais opostos, a raiz está em [a,b]. Calculamos o ponto médio m=(a+b)/2. Se f(m)=0 paramos; senão escolhemos o subintervalo onde ocorre a mudança de sinal e repetimos. Após n iterações o comprimento do intervalo é (b-a)/2^n. Critério prático que vou usar: parar quando a semi-amplitude do intervalo for menor que \varepsilon, ou seja quando
\frac{b-a}{2}<\varepsilon\quad\text{(na última iteração)}.úçã
Na prática, eu paro quando o novo intervalo [a,b] tem comprimento b-a<2\varepsilon, o que garante que o ponto médio está a menos de \varepsilon da raiz real.
Agora faço as iterações mostrando os valores de m, f(m) e a atualização do intervalo.

Passo 3

Bisseção — iteração 1.
Ponto médio:
m_1=\frac{a+b}{2}=\frac{3\pi/4+7\pi/8}{2}=\frac{13\pi}{16}\approx 2{,}552544031041707.
Avaliação (uso f(x)=2\operatorname{sen}(5x/2)\cos(3x/2)):
f(m_1)\approx -0{,}1515365482\quad(\text{negativo}).
Como f(a)>0 e f(m_1)<0, a raiz está em [a,m_1]=\left[2{,}3561944902,\,2{,}5525440310\right].

Passo 4

Bisseção — iteração 2.
Novo ponto médio:
m_2=\frac{a+m_1}{2}\approx\frac{2{,}3561944902+2{,}5525440310}{2}=2{,}454369260617026.
Avaliação:
f(m_2)\approx 0{,}251415\quad(\text{positivo}).
Como f(m_2)>0 e f(m_1)<0, a raiz está em [m_2,m_1]=\left[2{,}4543692606,\,2{,}5525440310\right].

Passo 5

Bisseção — iteração 3.
m_3=\frac{m_2+m_1}{2}\approx 2{,}5034566458293666,
f(m_3)\approx 0{,}040192\quad(\text{positivo}).
Portanto nova faixa [m_3,m_1]=[2{,}5034566458,\,2{,}5525440310].

Passo 6

Bisseção — iteração 4.
m_4=\frac{m_3+m_1}{2}\approx 2{,}5280003384355368,
f(m_4)\approx -0{,}05858\quad(\text{negativo}).
Raiz em [m_3,m_4]=[2{,}5034566458,\,2{,}5280003384].

Passo 7

Bisseção — iteração 5.
m_5=\frac{m_3+m_4}{2}\approx 2{,}5157284921324517,
f(m_5)\approx -0{,}009895\quad(\text{negativo}).
Raiz em [m_3,m_5]=[2{,}5034566458,\,2{,}5157284921].

Passo 8

Bisseção — iteração 6.
m_6=\frac{m_3+m_5}{2}\approx 2{,}509592568980909,
f(m_6)\approx 0{,}014946\quad(\text{positivo}).
Raiz em [m_6,m_5]=[2{,}50959256898,\,2{,}51572849213].

Passo 9

Bisseção — iteração 7.
m_7=\frac{m_6+m_5}{2}\approx 2{,}5126605305566806,
f(m_7)\approx 0{,}002477\quad(\text{positivo}).
Raiz em [m_7,m_5]=[2{,}51266053056,\,2{,}51572849213].

Passo 10

Bisseção — iteração 8.
m_8=\frac{m_7+m_5}{2}\approx 2{,}514194511344566,
f(m_8)\approx -0{,}003712\quad(\text{negativo}).
Raiz em [m_7,m_8]=[2{,}51266053056,\,2{,}51419451134].

Passo 11

Bisseção — iteração 9.
m_9=\frac{m_7+m_8}{2}\approx 2{,}5134275209506234,
f(m_9)\approx -0{,}000619\quad(\text{negativo}).
Agora o novo intervalo é [m_7,m_9]=[2{,}51266053056,\,2{,}51342752095]. O comprimento desse intervalo é aproximadamente 0{,}00076699, cuja semi-amplitude é aproximadamente 0{,}0003835<\varepsilon=10^{-3}. Portanto posso parar a bisseção aqui e usar o ponto médio do intervalo final como aproximação da raiz.
Estimativa (bisseção):
x_{\text{bis}}=\frac{m_7+m_9}{2}\approx 2{,}513044025753652.

Passo 12

Observação analítica (checação): usando a identidade f(x)=2\operatorname{sen}\!\left(\frac{5x}{2}\right)\cos\!\left(\frac{3x}{2}\right), a função zera quando \operatorname{sen}\!\left(\frac{5x}{2}\right)=0 ou \cos\!\left(\frac{3x}{2}\right)=0. A condição \operatorname{sen}\!\left(\frac{5x}{2}\right)=0
\frac{5x}{2}=k\pi\quad\Rightarrow\quad x=\frac{2k\pi}{5}.
No intervalo dado \left[\frac{3\pi}{4},\frac{7\pi}{8}\right] o valor que aparece é x=\frac{4\pi}{5}\approx 2{,}5132741228718345. Isso confirma que existe uma raiz exata x=\frac{4\pi}{5} no intervalo e que a aproximação por bisseção está coerente (diferença \approx 0{,}000230, menor que \varepsilon).

Passo 13

Método de Newton-Raphson — explicação e aplicação.
Regra:
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
Para a nossa função:
f(x)=\operatorname{sen}(x)+\operatorname{sen}(4x),\qquad f'(x)=\cos(x)+4\cos(4x).
Critério de parada que vou usar: parar quando |x_{n+1}-x_n|<\varepsilon.
Escolho como chute inicial o ponto médio do intervalo:
x_0=m_1=\frac{13\pi}{16}\approx 2{,}552544031041707.

Passo 14

Newton — iteração 1.
Calculei:
f(x_0)\approx -0{,}1515365481669454,\qquad f'(x_0)=\cos(x_0)+4\cos(4x_0)\approx -3{,}659896737048736.
Atualização:
x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}\approx 2{,}552544031041707- \frac{-0{,}1515365482}{-3{,}6598967370}\approx 2{,}511126056\quad(\text{mudança } \approx 0{,}041418).ç

Passo 15

Newton — iteração 2.
Com x_1\approx 2{,}511126056 encontro:
f(x_1)\approx 0{,}00871436,\qquad f'(x_1)\approx -4{,}063232.
Atualização:
x_2=x_1-\frac{f(x_1)}{f'(x_1)}\approx 2{,}511126056-\frac{0{,}00871436}{-4{,}063232}\approx 2{,}513270257\quad(\text{mudança } \approx 0{,}002144).ç
Ainda não atingi |x_{2}-x_{1}|<10^{-3}, então faço mais uma iteração.

Passo 16

Newton — iteração 3.
Com x_2\approx 2{,}513270257 calculo:
f(x_2)\approx 1{,}56\times 10^{-5},\qquad f'(x_2)\approx -3{,}66\\ \text{(valor em torno de -3{,}66)}.
Atualização:
x_3=x_2-\frac{f(x_2)}{f'(x_2)}\approx 2{,}513270257-\frac{1{,}56\times 10^{-5}}{-3{,}66}\approx 2{,}513274122\quad(\text{mudança } \approx 4{,}3\times 10^{-6}).ç
Agora |x_3-x_2|\approx 4{,}3\times 10^{-6}<\varepsilon, então paro. Note que x_3 coincide (numéricamente) com a solução exata x=\frac{4\pi}{5}\approx 2{,}5132741228718345 dentro da precisão usada.

Resposta

Bisseção: x\approx 2{,}513044025753652
Newton-Raphson: x\approx 2{,}5132741228718345

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