Determine a raiz na
, no intervalo
, pelos Métodos da Bisseção e Newton-Raphson, considerando a tolerância
:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar uma raiz da função
no intervalo
usando os métodos da Bisseção e de Newton-Raphson, com tolerância
.
Informações dadas e úteis:
Intervalo:
Tolerância:
Vou usar esses dados sem perguntar nada mais. Antes de começar, calculo os valores em
e
para checar se há mudança de sinal (condição da bisseção):
Como
, existe pelo menos uma raiz no intervalo por causa do Teorema do Valor Intermediário.
Observação útil (que vou usar para calcular
de forma prática): a soma de senos pode ser escrita como
Aplicando em
:
o que ajuda a avaliar
numericamente (especialmente quando
está próximo de múltiplos de
, deixando um ângulo pequeno para usar aproximações).
Passo 2
Método da Bisseção — explicação e critério de parada.
Ideia: se
e
têm sinais opostos, a raiz está em
. Calculamos o ponto médio
. Se
paramos; senão escolhemos o subintervalo onde ocorre a mudança de sinal e repetimos. Após
iterações o comprimento do intervalo é
. Critério prático que vou usar: parar quando a semi-amplitude do intervalo for menor que
, ou seja quando
Na prática, eu paro quando o novo intervalo
tem comprimento
, o que garante que o ponto médio está a menos de
da raiz real.
Agora faço as iterações mostrando os valores de
,
e a atualização do intervalo.
Passo 3
Bisseção — iteração 1.
Ponto médio:
Avaliação (uso
):
Como
e
, a raiz está em
.
Passo 4
Bisseção — iteração 2.
Novo ponto médio:
Avaliação:
Como
e
, a raiz está em
.
Passo 5
Bisseção — iteração 3.
Portanto nova faixa
.
Passo 6
Bisseção — iteração 4.
Raiz em
.
Passo 7
Bisseção — iteração 5.
Raiz em
.
Passo 8
Bisseção — iteração 6.
Raiz em
.
Passo 9
Bisseção — iteração 7.
Raiz em
.
Passo 10
Bisseção — iteração 8.
Raiz em
.
Passo 11
Bisseção — iteração 9.
Agora o novo intervalo é
. O comprimento desse intervalo é aproximadamente
, cuja semi-amplitude é aproximadamente
. Portanto posso parar a bisseção aqui e usar o ponto médio do intervalo final como aproximação da raiz.
Estimativa (bisseção):
Passo 12
Observação analítica (checação): usando a identidade
, a função zera quando
ou
. A condição
dá
No intervalo dado
o valor que aparece é
. Isso confirma que existe uma raiz exata
no intervalo e que a aproximação por bisseção está coerente (diferença
, menor que
).
Passo 13
Método de Newton-Raphson — explicação e aplicação.
Regra:
Para a nossa função:
Critério de parada que vou usar: parar quando
.
Escolho como chute inicial o ponto médio do intervalo:
Passo 14
Newton — iteração 1.
Calculei:
Atualização:
Passo 15
Newton — iteração 2.
Com
encontro:
Atualização:
Ainda não atingi
, então faço mais uma iteração.
Passo 16
Newton — iteração 3.
Com
calculo:
Atualização:
Agora
, então paro. Note que
coincide (numéricamente) com a solução exata
dentro da precisão usada.
Resposta
Bisseção:
Newton-Raphson: