Determine a raiz de
, pelos Métodos da Bisseção e Newton-Raphson,para
, considerando a tolerância
:
Passo 1
O enunciado pede: determinar uma raiz da função
no intervalo
, usando os métodos da Bisseção e de Newton–Raphson, com tolerância
.
Informações relevantes dadas:
Perguntas que o enunciado faz:
- Aplicar o método da Bisseção no intervalo dado até atingir a tolerância e fornecer a aproximação da raiz.
- Aplicar o método de Newton–Raphson (com uma escolha de chute inicial dentro do intervalo) até atingir a tolerância e fornecer a aproximação da raiz.
Passo 2
Método da Bisseção — ideia e critério de parada (aulas rápidas).
- A cada iteração tomamos o ponto médio
avaliamos
e substituímos
ou
pelo ponto médio conforme o sinal de
(mantendo
e
com sinais opostos).
- Garantia de erro: após
iterações o comprimento do intervalo é
Se usarmos como aproximação o ponto médio do intervalo atual, a distância máxima entre essa aproximação e a raiz é
Queremos essa máxima distância menor ou igual a
, então exigimos
ou seja
- Aplicando aos dados:
e ,
portanto precisamos de
iterações (arredondando para cima) para garantir erro
.
Agora executamos as
iterações, mostrando
,
,
e
(os cálculos são numéricos; toda expressão matemática está em TeX):
Iteração 1:
Como
e
, e
, substituímos
. Novo intervalo
.
Iteração 2:
Mantemos
. Novo intervalo
.
Iteração 3:
Agora
e
, então substituímos
. Novo intervalo
.
Iteração 4:
Substituímos
. Novo intervalo
.
Iteração 5:
Substituímos
. Novo intervalo
.
Iteração 6:
Substituímos
. Novo intervalo
.
Iteração 7:
Substituímos
. Novo intervalo
.
Iteração 8:
Substituímos
. Novo intervalo
.
Iteração 9:
Substituímos
. Novo intervalo final
.
Após 9 iterações o comprimento do intervalo é
A aproximação que normalmente tomamos é o ponto médio do intervalo final; uma escolha comum é
. A garantia teórica do método diz que a distância até a raiz é menor ou igual a
, portanto a tolerância foi atendida.
Passo 3
Método de Newton–Raphson — ideia e critério de parada (aula curta e prática).
- Fórmula iterativa:
onde
.
- Critério de parada usado aqui: parar quando
. - Escolhemos como chute inicial o ponto médio do intervalo original:
(um chute dentro de ).
Agora as iterações:
Iteração 0
1:
Iteração 1
2:
Aqui
, então continuamos.
Iteração 2
3:
Agora
, portanto paramos. A aproximação final pelo método de Newton–Raphson é
(a convergência foi rápida: 3 iterações).
Passo 4
Verificação rápida por fórmula resolvente (checagem): a equação quadrática
tem raízes dadas por
Isso dá duas raízes
e
. A raiz dentro do intervalo
é
, que confirma as aproximações obtidas pelos dois métodos.
Resposta
Bisseção:
(após 9 iterações, erro máximo
).
Newton–Raphson: (convergência em 3 iterações).
Newton–Raphson: