Determine a raiz de y(x)=2 x^{2}-9 x+4, pelos Métodos da Bisseção e Newton-Raphson,para \mathrm{x} \in\left[0, \frac{6}{10}\right], considerando a tolerância \varepsilon=10^{-3} :

Passo 1

O enunciado pede: determinar uma raiz da função
y(x)=2x^{2}-9x+4
no intervalo \left[0,\tfrac{6}{10}\right], usando os métodos da Bisseção e de Newton–Raphson, com tolerância \varepsilon=10^{-3}.
Informações relevantes dadas:
\text{Função: }y(x)=2x^{2}-9x+4,çã
\text{Intervalo: }a=0,\quad b=\tfrac{6}{10}=0,6,
\text{Tolerância: }\varepsilon=10^{-3}.â
Perguntas que o enunciado faz:
  • Aplicar o método da Bisseção no intervalo dado até atingir a tolerância e fornecer a aproximação da raiz.
  • Aplicar o método de Newton–Raphson (com uma escolha de chute inicial dentro do intervalo) até atingir a tolerância e fornecer a aproximação da raiz.

Passo 2

Método da Bisseção — ideia e critério de parada (aulas rápidas).
  • A cada iteração tomamos o ponto médio
c=\frac{a+b}{2},
avaliamos y\text{(c)} e substituímos a ou b pelo ponto médio conforme o sinal de y\text{(c)} (mantendo y(a) e y(b) com sinais opostos).
  • Garantia de erro: após n iterações o comprimento do intervalo é
L_n=\frac{b-a}{2^{n}}.
Se usarmos como aproximação o ponto médio do intervalo atual, a distância máxima entre essa aproximação e a raiz é
\frac{L_n}{2}=\frac{b-a}{2^{\,n+1}}.
Queremos essa máxima distância menor ou igual a \varepsilon, então exigimos
\frac{b-a}{2^{\,n+1}}\le\varepsilon
ou seja
n\ge\log_{2}\!\left(\frac{b-a}{2\varepsilon}\right).
  • Aplicando aos dados: b-a=0,6 e \varepsilon=10^{-3},
n\ge\log_{2}\!\left(\frac{0,6}{2\cdot 10^{-3}}\right)=\log_{2}(300)\approx 8{,}2288,
portanto precisamos de n=9 iterações (arredondando para cima) para garantir erro \le 10^{-3}.
Agora executamos as 9 iterações, mostrando a, b, c e y\text{(c)} (os cálculos são numéricos; toda expressão matemática está em TeX):
Iteração 1:
a_{0}=0,\quad b_{0}=0,6,\quad c_{1}=\frac{0+0,6}{2}=0,3,
y(0,3)=2(0,3)^{2}-9(0,3)+4=1,48>0.
Como y(0)=4>0 e y(0,6)=-0,68<0, e y(0,3)>0, substituímos a\leftarrow 0,3. Novo intervalo [0,3,\,0,6].
Iteração 2:
c_{2}=\frac{0,3+0,6}{2}=0,45,
y(0,45)=0,355>0.
Mantemos a\leftarrow 0,45. Novo intervalo [0,45,\,0,6].
Iteração 3:
c_{3}=\frac{0,45+0,6}{2}=0,525,
y(0,525)=-0,17375<0.
Agora y(c_{3})<0 e y(0,45)>0, então substituímos b\leftarrow 0,525. Novo intervalo [0,45,\,0,525].
Iteração 4:
c_{4}=\frac{0,45+0,525}{2}=0,4875,
y(0,4875)=0,0878125>0.
Substituímos a\leftarrow 0,4875. Novo intervalo [0,4875,\,0,525].
Iteração 5:
c_{5}=\frac{0,4875+0,525}{2}=0,50625,
y(0,50625)=-0,043671875<0.
Substituímos b\leftarrow 0,50625. Novo intervalo [0,4875,\,0,50625].
Iteração 6:
c_{6}=\frac{0,4875+0,50625}{2}=0,496875,
y(0,496875)=0,02189453125>0.
Substituímos a\leftarrow 0,496875. Novo intervalo [0,496875,\,0,50625].
Iteração 7:
c_{7}=\frac{0,496875+0,50625}{2}=0,5015625,
y(0,5015625)=-0,0109326171875<0.
Substituímos b\leftarrow 0,5015625. Novo intervalo [0,496875,\,0,5015625].
Iteração 8:
c_{8}=\frac{0,496875+0,5015625}{2}=0,49921875,
y(0,49921875)=0,005469970703125>0.
Substituímos a\leftarrow 0,49921875. Novo intervalo [0,49921875,\,0,5015625].
Iteração 9:
c_{9}=\frac{0,49921875+0,5015625}{2}=0,500390625,
y(0,500390625)=-0,00273406982421875<0.
Substituímos b\leftarrow 0,500390625. Novo intervalo final [0,49921875,\,0,500390625].
Após 9 iterações o comprimento do intervalo é
L_{9}=0,500390625-0,49921875=0,001171875.
A aproximação que normalmente tomamos é o ponto médio do intervalo final; uma escolha comum é c_{9}=0,500390625. A garantia teórica do método diz que a distância até a raiz é menor ou igual a L_{9}/2=0,0005859375<10^{-3}, portanto a tolerância foi atendida.

Passo 3

Método de Newton–Raphson — ideia e critério de parada (aula curta e prática).
  • Fórmula iterativa:
x_{n+1}=x_{n}-\frac{y(x_{n})}{y'(x_{n})},
onde y'(x)=\dfrac{d}{dx}\bigl(2x^{2}-9x+4\bigr)=4x-9.
  • Critério de parada usado aqui: parar quando |x_{n+1}-x_{n}|<\varepsilon.
  • Escolhemos como chute inicial o ponto médio do intervalo original: x_{0}=0,3 (um chute dentro de [0,0{,}6]).
Agora as iterações:
Iteração 0 \to 1:
x_{0}=0,3,\quad y(0,3)=1,48,\quad y'(0,3)=4(0,3)-9=-7{,}8,
x_{1}=0,3-\frac{1,48}{-7{,}8}=0,3+\frac{1,48}{7{,}8}=0,48974358974358974.
Iteração 1 \to 2:
x_{1}=0,48974358974358974,
y(x_{1})=\frac{10952}{152100}\approx 0,07200525968,\quad y'(x_{1})=4x_{1}-9\approx -7,041025641025641,
x_{2}=x_{1}-\frac{y(x_{1})}{y'(x_{1})}\approx 0,48974358974358974 + 0,010226535\approx 0,49997012474358974.
Aqui |x_{2}-x_{1}|\approx 0,0102265>\varepsilon, então continuamos.
Iteração 2 \to 3:
x_{2}\approx 0,49997012474358974,
y(x_{2})\approx 2x_{2}^{2}-9x_{2}+4\approx 0,0002091\quad(\text{muito pequeno}),
y'(x_{2})\approx 4x_{2}-9\approx -7,0001195,
x_{3}=x_{2}-\frac{y(x_{2})}{y'(x_{2})}\approx 0,49997012474358974 + 0,000029875\approx 0,500000000\\ (\text{aprox.}).
Agora |x_{3}-x_{2}|\approx 2,99\times 10^{-5}<10^{-3}, portanto paramos. A aproximação final pelo método de Newton–Raphson é x\approx 0{,}5 (a convergência foi rápida: 3 iterações).

Passo 4

Verificação rápida por fórmula resolvente (checagem): a equação quadrática 2x^{2}-9x+4=0 tem raízes dadas por
x=\frac{9\pm\sqrt{(-9)^{2}-4\cdot 2\cdot 4}}{2\cdot 2}=\frac{9\pm\sqrt{81-32}}{4}=\frac{9\pm\sqrt{49}}{4}=\frac{9\pm 7}{4}.
Isso dá duas raízes \dfrac{9-7}{4}=\dfrac{2}{4}=0{,}5 e \dfrac{9+7}{4}=\dfrac{16}{4}=4. A raiz dentro do intervalo [0,0{,}6] é x=0{,}5, que confirma as aproximações obtidas pelos dois métodos.

Resposta

Bisseção: x\approx 0,500390625 (após 9 iterações, erro máximo \le 0,0005859375<10^{-3}).
Newton–Raphson: x\approx 0,5 (convergência em 3 iterações).

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