Determine a raiz na função
, nos intervalos
e
[5,5; 6,25], pelos Métodos da Bisseção e Newton-Raphson, considerando a tolerância
:
Passo 1
O enunciado pede: determinar a raiz da função
em cada um dos intervalos dados, usando dois métodos numéricos (Bisseção e Newton–Raphson) e adotando tolerância
.
As três perguntas (uma por intervalo) são:
- Encontrar
em . - Encontrar
em . - Encontrar
em .
Dados importantes fornecidos e verificados:
- A função é
. - Tolerância desejada
. - Os intervalos (com vírgula decimal) são:
, e . - Verifiquei (avaliando a função nos extremos) que em cada intervalo há troca de sinal, ou seja existe pelo menos uma raiz em cada um:
-
e (troca de sinal em ). -
e (troca de sinal em ). -
e (troca de sinal em ).
-
Pronto — agora sabemos exatamente o que cada item pede e que os intervalos contêm raízes. Nos passos seguintes eu explico cada método e executo as iterações passo a passo até a tolerância pedida.
Passo 2
Método da Bisseção — explicação didática:
- A ideia: se
e têm sinais opostos, então existe pelo menos uma raiz em . O método toma o ponto médio e verifica o sinal de . Substitui o intervalo original por aquele subintervalo onde há troca de sinal, reduzindo o comprimento do intervalo pela metade a cada iteração. - Critério de parada que usarei: parar quando o comprimento do intervalo
for menor que (isto é, ). Nesse caso um bom aproximado da raiz é o ponto médio final . - Fórmula do ponto médio:
- Em cada iteração calculo
. Se então a nova base é , caso contrário é .
Passo 3
Bisseção em
com
— iterações detalhadas:
- Inicial:
.
-
. . Troca de sinal entre e , novo intervalo . -
. . Troca de sinal entre e , novo intervalo . -
. . Novo intervalo . -
. . Novo intervalo . -
. . Novo intervalo . -
. . Novo intervalo .
Agora o comprimento do intervalo é
portanto paro. Aproximação pela bisseção: o ponto médio final é
Passo 4
Bisseção em
com
— iterações detalhadas:
- Inicial:
.
-
. . Troca de sinal entre e , novo intervalo . -
. . Novo intervalo . -
. . Novo intervalo . -
. . Novo intervalo . -
. . Novo intervalo .
Comprimento do intervalo:
portanto paro. Aproximação pela bisseção:
Passo 5
Bisseção em
com
— iterações detalhadas:
- Inicial:
.
-
. . Novo intervalo . -
. . Novo intervalo . -
. . Novo intervalo . -
. . Novo intervalo .
Comprimento do intervalo:
portanto paro. Aproximação pela bisseção:
Passo 6
Método de Newton–Raphson — explicação didática:
- Fórmula iterativa:
- Aqui
é a derivada de . Para nossa função: - Critério de parada que usarei: parar quando o passo for menor que
, isto é . (É um critério comum e prático na prova.) - Observações práticas: escolher
razoável (por exemplo o ponto médio do intervalo dado). Verificar que para não dividir por zero.
Passo 7
Newton–Raphson em
(aproximação da raiz próxima a
). Escolhi
(ponto médio):
-
.
. Diferença. -
.
Calculeie . Diferença. -
.
Calculeie . Diferença, portanto paro.
Aproximação por Newton:
Passo 8
Newton–Raphson em
(aproximação da raiz próxima a
). Escolhi
(ponto médio):
-
.
Diferença. -
.
Calculeie . Diferença, portanto paro.
Aproximação por Newton:
Passo 9
Newton–Raphson em
(aproximação da raiz próxima a
). Escolhi
(ponto médio):
-
.
Diferença. -
.
Calculeie . Diferença, portanto paro.
Aproximação por Newton: