Determine a raiz na função \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{3}-11 \mathrm{x}^{2}+34 \mathrm{x}-24, nos intervalos \bar{x}_{1} \in[0 ; 3], \bar{x}_{2} \in[3 ; 4,5] e \bar{x}_{3} \in [5,5; 6,25], pelos Métodos da Bisseção e Newton-Raphson, considerando a tolerância \varepsilon=0,05 :

Passo 1

O enunciado pede: determinar a raiz da função
\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{3}-11 \mathrm{x}^{2}+34 \mathrm{x}-24
em cada um dos intervalos dados, usando dois métodos numéricos (Bisseção e Newton–Raphson) e adotando tolerância \varepsilon=0,05.
As três perguntas (uma por intervalo) são:
  1. Encontrar \bar{x}_{1} em [0;3].
  2. Encontrar \bar{x}_{2} em [3;4,5].
  3. Encontrar \bar{x}_{3} em [5,5;6,25].
Dados importantes fornecidos e verificados:
  • A função é \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{3}-11\mathrm{x}^{2}+34\mathrm{x}-24.
  • Tolerância desejada \varepsilon=0,05.
  • Os intervalos (com vírgula decimal) são: [0;3], [3;4,5] e [5,5;6,25].
  • Verifiquei (avaliando a função nos extremos) que em cada intervalo há troca de sinal, ou seja existe pelo menos uma raiz em cada um:
    • \mathrm{f}(0)=-24 e \mathrm{f}(3)=6 (troca de sinal em [0;3]).
    • \mathrm{f}(3)=6 e \mathrm{f}(4{,}5)=-2{,}625 (troca de sinal em [3;4,5]).
    • \mathrm{f}(5{,}5)=-3{,}375 e \mathrm{f}(6{,}25)=2{,}953125 (troca de sinal em [5,5;6,25]).
Pronto — agora sabemos exatamente o que cada item pede e que os intervalos contêm raízes. Nos passos seguintes eu explico cada método e executo as iterações passo a passo até a tolerância pedida.

Passo 2

Método da Bisseção — explicação didática:
  • A ideia: se \mathrm{f}(a) e \mathrm{f}(b) têm sinais opostos, então existe pelo menos uma raiz em [a,b]. O método toma o ponto médio m=(a+b)/2 e verifica o sinal de \mathrm{f}(m). Substitui o intervalo original por aquele subintervalo onde há troca de sinal, reduzindo o comprimento do intervalo pela metade a cada iteração.
  • Critério de parada que usarei: parar quando o comprimento do intervalo b-a for menor que \varepsilon (isto é, b-a<\varepsilon). Nesse caso um bom aproximado da raiz é o ponto médio final m=(a+b)/2.
  • Fórmula do ponto médio: m=\frac{a+b}{2}.
  • Em cada iteração calculo \mathrm{f}(m). Se \mathrm{f}(a)\cdot\mathrm{f}(m)<0 então a nova base é [a,m], caso contrário é [m,b].

Passo 3

Bisseção em [0;3] com \varepsilon=0,05 — iterações detalhadas:
  • Inicial: a_{0}=0,\; b_{0}=3,\; \mathrm{f}(0)=-24,\; \mathrm{f}(3)=6.
  1. m_{1}=\dfrac{0+3}{2}=1{,}5. \mathrm{f}(1{,}5)=5{,}625>0. Troca de sinal entre 0 e 1{,}5, novo intervalo [0;1{,}5].
  2. m_{2}=\dfrac{0+1{,}5}{2}=0{,}75. \mathrm{f}(0{,}75)=-4{,}265625<0. Troca de sinal entre 0{,}75 e 1{,}5, novo intervalo [0{,}75;1{,}5].
  3. m_{3}=\dfrac{0{,}75+1{,}5}{2}=1{,}125. \mathrm{f}(1{,}125)=1{,}751953125>0. Novo intervalo [0{,}75;1{,}125].
  4. m_{4}=\dfrac{0{,}75+1{,}125}{2}=0{,}9375. \mathrm{f}(0{,}9375)=-0{,}96899414<0. Novo intervalo [0{,}9375;1{,}125].
  5. m_{5}=\dfrac{0{,}9375+1{,}125}{2}=1{,}03125. \mathrm{f}(1{,}03125)=0{,}460968018>0. Novo intervalo [0{,}9375;1{,}03125].
  6. m_{6}=\dfrac{0{,}9375+1{,}03125}{2}=0{,}984375. \mathrm{f}(0{,}984375)=-0{,}23633194<0. Novo intervalo [0{,}984375;1{,}03125].
Agora o comprimento do intervalo é
1{,}03125-0{,}984375=0{,}046875<0{,}05,
portanto paro. Aproximação pela bisseção: o ponto médio final é
\bar{x}_{1}^{\text{(bisseção)}}=\dfrac{0{,}984375+1{,}03125}{2}=1{,}0078125.çã

Passo 4

Bisseção em [3;4,5] com \varepsilon=0,05 — iterações detalhadas:
  • Inicial: a_{0}=3,\; b_{0}=4{,}5,\; \mathrm{f}(3)=6,\; \mathrm{f}(4{,}5)=-2{,}625.
  1. m_{1}=\dfrac{3+4{,}5}{2}=3{,}75. \mathrm{f}(3{,}75)=1{,}546875>0. Troca de sinal entre 3{,}75 e 4{,}5, novo intervalo [3{,}75;4{,}5].
  2. m_{2}=\dfrac{3{,}75+4{,}5}{2}=4{,}125. \mathrm{f}(4{,}125)=-0{,}810546875<0. Novo intervalo [3{,}75;4{,}125].
  3. m_{3}=\dfrac{3{,}75+4{,}125}{2}=3{,}9375. \mathrm{f}(3{,}9375)=0{,}355712891>0. Novo intervalo [3{,}9375;4{,}125].
  4. m_{4}=\dfrac{3{,}9375+4{,}125}{2}=4{,}03125. \mathrm{f}(4{,}03125)=-0{,}186493988<0. Novo intervalo [3{,}9375;4{,}03125].
  5. m_{5}=\dfrac{3{,}9375+4{,}03125}{2}=3{,}984375. \mathrm{f}(3{,}984375)=0{,}093990326>0. Novo intervalo [3{,}984375;4{,}03125].
Comprimento do intervalo:
4{,}03125-3{,}984375=0{,}046875<0{,}05,
portanto paro. Aproximação pela bisseção:
\bar{x}_{2}^{\text{(bisseção)}}=\dfrac{3{,}984375+4{,}03125}{2}=4{,}0078125.çã

Passo 5

Bisseção em [5,5;6,25] com \varepsilon=0,05 — iterações detalhadas:
  • Inicial: a_{0}=5{,}5,\; b_{0}=6{,}25,\; \mathrm{f}(5{,}5)=-3{,}375,\; \mathrm{f}(6{,}25)=2{,}953125.
  1. m_{1}=\dfrac{5{,}5+6{,}25}{2}=5{,}875. \mathrm{f}(5{,}875)=-1{,}142578125<0. Novo intervalo [5{,}875;6{,}25].
  2. m_{2}=\dfrac{5{,}875+6{,}25}{2}=6{,}0625. \mathrm{f}(6{,}0625)=0{,}652587890625>0. Novo intervalo [5{,}875;6{,}0625].
  3. m_{3}=\dfrac{5{,}875+6{,}0625}{2}=5{,}96875. \mathrm{f}(5{,}96875)=-0{,}3253488540649414<0. Novo intervalo [5{,}96875;6{,}0625].
  4. m_{4}=\dfrac{5{,}96875+6{,}0625}{2}=6{,}015625. \mathrm{f}(6{,}015625)=0{,}15796184539794922>0. Novo intervalo [5{,}96875;6{,}015625].
Comprimento do intervalo:
6{,}015625-5{,}96875=0{,}046875<0{,}05,
portanto paro. Aproximação pela bisseção:
\bar{x}_{3}^{\text{(bisseção)}}=\dfrac{5{,}96875+6{,}015625}{2}=5{,}9921875.çã

Passo 6

Método de Newton–Raphson — explicação didática:
  • Fórmula iterativa: x_{n+1}=x_{n}-\frac{\mathrm{f}(x_{n})}{\mathrm{f}'(x_{n})}.
  • Aqui \mathrm{f}'(x) é a derivada de \mathrm{f}(x). Para nossa função: \mathrm{f}'(x)=3x^{2}-22x+34.
  • Critério de parada que usarei: parar quando o passo for menor que \varepsilon, isto é |x_{n+1}-x_{n}|<\varepsilon. (É um critério comum e prático na prova.)
  • Observações práticas: escolher x_{0} razoável (por exemplo o ponto médio do intervalo dado). Verificar que \mathrm{f}'(x_{n})\neq 0 para não dividir por zero.

Passo 7

Newton–Raphson em [0;3] (aproximação da raiz próxima a 1). Escolhi x_{0}=1{,}5 (ponto médio):
  • x_{0}=1{,}5.
    \mathrm{f}(1{,}5)=5{,}625,\quad \mathrm{f}'(1{,}5)=7{,}75.
    x_{1}=1{,}5-\frac{5{,}625}{7{,}75}=1{,}5-0{,}7258064516\approx0{,}7741935484.
    Diferença |x_{1}-x_{0}|\approx0{,}7258>\!0{,}05.
  • x_{1}\approx0{,}7741935484.
    Calculei \mathrm{f}(x_{1})\approx-3{,}805604 e \mathrm{f}'(x_{1})\approx18{,}765919.
    x_{2}=x_{1}-\frac{-3{,}805604}{18{,}765919}\approx0{,}7741935484+0{,}2028\approx0{,}97699.
    Diferença |x_{2}-x_{1}|\approx0{,}2028>\!0{,}05.
  • x_{2}\approx0{,}97699.
    Calculei \mathrm{f}(x_{2})\approx-0{,}32812 e \mathrm{f}'(x_{2})\approx15{,}36966.
    x_{3}=x_{2}-\frac{-0{,}32812}{15{,}36966}\approx0{,}97699+0{,}02135\approx0{,}99834.
    Diferença |x_{3}-x_{2}|\approx0{,}02135<0{,}05, portanto paro.
Aproximação por Newton:
\bar{x}_{1}^{\text{(Newton)}}\approx0{,}99834.

Passo 8

Newton–Raphson em [3;4,5] (aproximação da raiz próxima a 4). Escolhi x_{0}=3{,}75 (ponto médio):
  • x_{0}=3{,}75.
    \mathrm{f}(3{,}75)=1{,}546875,\quad \mathrm{f}'(3{,}75)= -6{,}3125.
    x_{1}=3{,}75-\frac{1{,}546875}{-6{,}3125}=3{,}75+0{,}245079\approx3{,}995079.
    Diferença |x_{1}-x_{0}|\approx0{,}24508>\!0{,}05.
  • x_{1}\approx3{,}995079.
    Calculei \mathrm{f}(x_{1})\approx0{,}029497 e \mathrm{f}'(x_{1})\approx-6{,}00977.
    x_{2}=x_{1}-\frac{0{,}029497}{-6{,}00977}\approx3{,}995079+0{,}004905\approx3{,}999984.
    Diferença |x_{2}-x_{1}|\approx0{,}004905<0{,}05, portanto paro.
Aproximação por Newton:
\bar{x}_{2}^{\text{(Newton)}}\approx3{,}999984.

Passo 9

Newton–Raphson em [5,5;6,25] (aproximação da raiz próxima a 6). Escolhi x_{0}=5{,}875 (ponto médio):
  • x_{0}=5{,}875.
    \mathrm{f}(5{,}875)=-1{,}142578125,\quad \mathrm{f}'(5{,}875)=8{,}296875.
    x_{1}=5{,}875-\frac{-1{,}142578125}{8{,}296875}=5{,}875+0{,}137725\approx6{,}012725.
    Diferença |x_{1}-x_{0}|\approx0{,}137725>\!0{,}05.
  • x_{1}\approx6{,}012725.
    Calculei \mathrm{f}(x_{1})\approx0{,}12913 e \mathrm{f}'(x_{1})\approx10{,}17862.
    x_{2}=x_{1}-\frac{0{,}12913}{10{,}17862}\approx6{,}012725-0{,}01268\approx6{,}000045.
    Diferença |x_{2}-x_{1}|\approx0{,}01268<0{,}05, portanto paro.
Aproximação por Newton:
\bar{x}_{3}^{\text{(Newton)}}\approx6{,}000045.

Resposta

\bar{x}_{1}^{\text{(bisseção)}}=1{,}0078125,\quad \bar{x}_{1}^{\text{(Newton)}}\approx0{,}99834çã
\bar{x}_{2}^{\text{(bisseção)}}=4{,}0078125,\quad \bar{x}_{2}^{\text{(Newton)}}\approx3{,}999984çã
\bar{x}_{3}^{\text{(bisseção)}}=5{,}9921875,\quad \bar{x}_{3}^{\text{(Newton)}}\approx6{,}000045çã

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