Determine a raiz negativa no intervalo
pelo Método da Bisseção.
Passo 1
O enunciado pede: “Determine a raiz negativa no intervalo
pelo Método da Bisseção.”
Informações explicitamente dadas:
- O intervalo onde procurar a raiz é
. - Há uma imagem enviada, que eu observei, mas nela não aparece de forma legível a expressão da função
— só vejo rabiscos que não permitem identificar .
Pergunta a responder: encontrar a raiz (o valor de
) dentro do intervalo
usando o Método da Bisseção.
Observação importante: para aplicar numericamente a bisseção eu preciso conhecer a função
. Com apenas o intervalo não é possível calcular as avaliações
etc. Portanto falta no enunciado a informação essencial: a expressão de
.
Passo 2
Por que a expressão de
é necessária? Expliquei em palavras simples: o Método da Bisseção exige que você saiba o sinal de
nos extremos do intervalo e nos pontos médios sucessivos. Você só pode decidir em que metade continuar se souber se
é positiva ou negativa nesses pontos. Sem
não há como prosseguir com cálculos numéricos. Eu confirmei que a imagem não fornece essa informação de forma legível; não estou inventando a função.
Passo 3
Agora vou te dar uma “aula prática” do Método da Bisseção, passo a passo, para que você aplique assim que me fornecer (ou consultar no enunciado) a expressão de
. Primeiro, os requisitos e a ideia do método:
- Requisito:
deve ser contínua em e deve haver mudança de sinal em e , ou seja, - Por que isso basta? Pelo Teorema do Valor Intermediário, se
é contínua e muda de sinal em , existe pelo menos uma raiz tal que . - Ideia do método: dividir o intervalo ao meio repetidamente, cada vez escolhendo a metade onde ocorre a mudança de sinal, assim isolamos a raiz em intervalos cada vez menores.
Passo 4
Algoritmo da Bisseção (passos que você executa manualmente):
-
Defina
e (no seu caso). Calcule e e verifique que . Se não for <0, a bisseção não pode ser aplicada diretamente. -
Calcule o ponto médio
-
Calcule
. Há três possibilidades:
- Se
então é a raiz e você terminou. - Se
, então a raiz está em . Substitua . - Se
, então a raiz está em . Substitua .
- Repita os passos 2–3 até que a largura do intervalo
seja suficientemente pequena ou até que seja suficientemente pequeno (dependendo do critério de parada que você escolher).
Passo 5
Critérios de parada e estimativa de erro (muito útil na prova):
- Se você quer uma aproximação com erro absoluto menor que uma tolerância
(ou seja, ), basta escolher iterações tal que
Daí
-
Interpretação: a cada iteração a largura do intervalo é dividida por
. Após iterações a incerteza máxima sobre a raiz é . -
Critério alternativo prático: pare quando
ficar menor que a precisão desejada (por exemplo ou ), ou quando for menor que uma tolerância para o valor da função.
Passo 6
Aplicação específica ao intervalo dado (o que você faria concretamente assim que tiver
):\n
- Calcule
. Avalie , , . - Use o sinal de
para escolher o próximo subintervalo: se então novo intervalo é ; se então novo intervalo é . - Repita: calcule
do novo intervalo (por exemplo, se era , ), avalie , decida a metade e assim por diante.
Eu não posso continuar esses cálculos numéricos porque não conheço
. Mas com essa receita você consegue executar todas as iterações exigidas na prova.
Passo 7
Exemplo ilustrativo (apenas para ver números e o método em ação — isto é um exemplo inventado para ensinar, não a solução do seu enunciado, porque o seu enunciado não deu
).
Considere a função de exemplo
. Neste exemplo temos:
-
(negativo), -
(positivo), logo existe uma raiz em .
Aplicando bisseção:
-
. (positivo). Então raiz em . -
. (negativo). Então raiz em . -
. (positivo). Então raiz em . -
. (positivo). Então raiz em .
Depois de 4 iterações a raiz está isolada em um intervalo de largura
, e o ponto médio
(ou
dependendo de como você nomeou) seria uma aproximação com erro at most
.
Repare que esse exemplo serve só para mostrar o processo passo a passo. Para o seu exercício você deve substituir essa
pela função que estiver no enunciado.
Passo 8
O que você me pode passar agora para eu resolver até o final por você:
- Envie a expressão analítica de
(por exemplo ou outra) OU - Confirme se a imagem enviada originalmente contém
e, se sim, envie-a com maior nitidez (ou escreva a função por texto).
Assim que eu tiver
, eu executo a bisseção passo a passo como mostrei (com todas as avaliações de
detalhadas) até a tolerância que você quiser, e te dou a raiz final com a mesma formatação passo a passo.
Resposta
Não é possível determinar numericamente a raiz: a função
não foi fornecida (a imagem enviada não é legível).