Determine a raiz negativa no intervalo [-2,-1] pelo Método da Bisseção.

Passo 1

O enunciado pede: “Determine a raiz negativa no intervalo [-2,-1] pelo Método da Bisseção.”
Informações explicitamente dadas:
  • O intervalo onde procurar a raiz é [-2,-1].
  • Há uma imagem enviada, que eu observei, mas nela não aparece de forma legível a expressão da função f(x) — só vejo rabiscos que não permitem identificar f.
Pergunta a responder: encontrar a raiz (o valor de x) dentro do intervalo [-2,-1] usando o Método da Bisseção.
Observação importante: para aplicar numericamente a bisseção eu preciso conhecer a função f(x). Com apenas o intervalo não é possível calcular as avaliações f(-2), f(-1), f\bigl(\tfrac{-2-1}{2}\bigr), etc. Portanto falta no enunciado a informação essencial: a expressão de f(x).

Passo 2

Por que a expressão de f(x) é necessária? Expliquei em palavras simples: o Método da Bisseção exige que você saiba o sinal de f nos extremos do intervalo e nos pontos médios sucessivos. Você só pode decidir em que metade continuar se souber se f é positiva ou negativa nesses pontos. Sem f não há como prosseguir com cálculos numéricos. Eu confirmei que a imagem não fornece essa informação de forma legível; não estou inventando a função.

Passo 3

Agora vou te dar uma “aula prática” do Método da Bisseção, passo a passo, para que você aplique assim que me fornecer (ou consultar no enunciado) a expressão de f(x). Primeiro, os requisitos e a ideia do método:
  • Requisito: f deve ser contínua em [a,b] e deve haver mudança de sinal em a e b, ou seja, f(a)\cdot f(b) < 0.
  • Por que isso basta? Pelo Teorema do Valor Intermediário, se f é contínua e muda de sinal em [a,b], existe pelo menos uma raiz r\in(a,b) tal que f(r)=0.
  • Ideia do método: dividir o intervalo ao meio repetidamente, cada vez escolhendo a metade onde ocorre a mudança de sinal, assim isolamos a raiz em intervalos cada vez menores.

Passo 4

Algoritmo da Bisseção (passos que você executa manualmente):
  1. Defina a=-2 e b=-1 (no seu caso). Calcule f(a) e f(b) e verifique que f(a)\cdot f(b)<0. Se não for <0, a bisseção não pode ser aplicada diretamente.
  2. Calcule o ponto médio m=\frac{a+b}{2}.
  3. Calcule f(m). Há três possibilidades:
  • Se f(m)=0 então m é a raiz e você terminou.
  • Se f(a)\cdot f(m)<0, então a raiz está em [a,m]. Substitua b\leftarrow m.
  • Se f(m)\cdot f(b)<0, então a raiz está em [m,b]. Substitua a\leftarrow m.
  1. Repita os passos 2–3 até que a largura do intervalo [a,b] seja suficientemente pequena ou até que |f(m)| seja suficientemente pequeno (dependendo do critério de parada que você escolher).

Passo 5

Critérios de parada e estimativa de erro (muito útil na prova):
  • Se você quer uma aproximação com erro absoluto menor que uma tolerância \varepsilon (ou seja, |m - r| < \varepsilon), basta escolher n iterações tal que \frac{b-a}{2^n} \le \varepsilon.
Daí n \ge \left\lceil \log_2\!\left(\frac{b-a}{\varepsilon}\right)\right\rceil.
  • Interpretação: a cada iteração a largura do intervalo é dividida por 2. Após n iterações a incerteza máxima sobre a raiz é (b-a)/2^n.
  • Critério alternativo prático: pare quando |b-a| ficar menor que a precisão desejada (por exemplo 10^{-3} ou 10^{-4}), ou quando |f(m)| for menor que uma tolerância para o valor da função.

Passo 6

Aplicação específica ao intervalo dado (o que você faria concretamente assim que tiver f):\n
  1. Calcule m_1=\dfrac{-2 + (-1)}{2} = -1,5. Avalie f(-2), f(-1), f(-1,5).
  2. Use o sinal de f(-1,5) para escolher o próximo subintervalo: se f(-2)\cdot f(-1,5)<0 então novo intervalo é [-2,-1,5]; se f(-1,5)\cdot f(-1)<0 então novo intervalo é [-1,5,-1].
  3. Repita: calcule m_2 do novo intervalo (por exemplo, se era [-2,-1,5], m_2=-1,75), avalie f(m_2), decida a metade e assim por diante.
Eu não posso continuar esses cálculos numéricos porque não conheço f. Mas com essa receita você consegue executar todas as iterações exigidas na prova.

Passo 7

Exemplo ilustrativo (apenas para ver números e o método em ação — isto é um exemplo inventado para ensinar, não a solução do seu enunciado, porque o seu enunciado não deu f).
Considere a função de exemplo \displaystyle f(x)=x^{3}+x^{2}+2. Neste exemplo temos:
  • f(-2) = (-8)+4+2 = -2 (negativo),
  • f(-1) = (-1)+1+2 = 2 (positivo), logo existe uma raiz em [-2,-1].
Aplicando bisseção:
  • m_1=-1{,}5. f(-1{,}5) = (-3{,}375)+2{,}25+2 = 0{,}875 (positivo). Então raiz em [-2,-1{,}5].
  • m_2=-1{,}75. f(-1{,}75) \approx -0{,}3 (negativo). Então raiz em [-1{,}75,-1{,}5].
  • m_3=-1{,}625. f(-1{,}625)\approx 0{,}349 (positivo). Então raiz em [-1{,}75,-1{,}625].
  • m_4=-1{,}6875. f(-1{,}6875)\approx 0{,}0416 (positivo). Então raiz em [-1{,}75,-1{,}6875].
Depois de 4 iterações a raiz está isolada em um intervalo de largura \dfrac{1}{2^{4}}(b-a)=\dfrac{1}{16}\cdot 1 = 0{,}0625, e o ponto médio m_4=-1{,}71875 (ou m_3 dependendo de como você nomeou) seria uma aproximação com erro at most 0{,}0625.
Repare que esse exemplo serve só para mostrar o processo passo a passo. Para o seu exercício você deve substituir essa f pela função que estiver no enunciado.

Passo 8

O que você me pode passar agora para eu resolver até o final por você:
  • Envie a expressão analítica de f(x) (por exemplo f(x)=x^{3}+x^{2}+2 ou outra) OU
  • Confirme se a imagem enviada originalmente contém f(x) e, se sim, envie-a com maior nitidez (ou escreva a função por texto).
Assim que eu tiver f, eu executo a bisseção passo a passo como mostrei (com todas as avaliações de f detalhadas) até a tolerância que você quiser, e te dou a raiz final com a mesma formatação passo a passo.

Resposta

Não é possível determinar numericamente a raiz: a função f(x) não foi fornecida (a imagem enviada não é legível).

Exercícios relacionados