Determine uma raiz positiva para a equação x-25 e^{-2 x}=0 pelo método das secantes com precisão de \varepsilon=10^{-2} tomando como primeiras aproximações x_{0}=1.4 e x_{1}=1.5. Sugestão: Utilize como critério de parada \frac{\left|x_{k}-x_{k-1}\right|}{\left|x_{k}\right|}<\varepsilon.

Passo 1

O enunciado dá a equação
x-25e^{-2x}=0
e pede uma raiz positiva obtida pelo método das secantes com precisão \varepsilon=10^{-2}. As primeiras aproximações fornecidas são
x_0=1,4,\qquad x_1=1,5.
Foi sugerido o critério de parada
\frac{\left|x_k-x_{k-1}\right|}{\left|x_k\right|}<\varepsilon.
Estas são todas as informações dadas e o que se pede.

Passo 2

Breve explicação do método das secantes (aula prática):
  • Seja f(x)=x-25e^{-2x}. O método das secantes gera aproximações x_{k+1} por meio da fórmula
x_{k+1}=x_k-\;f(x_k)\,\frac{x_k-x_{k-1}}{f(x_k)-f(x_{k-1})}.
  • A ideia é aproximar a derivada por um quociente de diferenças (a reta secante entre (x_{k-1},f(x_{k-1})) e (x_k,f(x_k))) e usar a interseção dessa reta com o eixo x como nova aproximação.
  • Critério de parada aplicado: parar quando \dfrac{|x_k-x_{k-1}|}{|x_k|}<\varepsilon. Aqui \varepsilon=10^{-2}.

Passo 3

Calcular f nas aproximações iniciais (mostrando contas):
f(x)=x-25e^{-2x}.
Para x_0=1,4:
e^{-2\cdot1,4}=e^{-2,8}\approx0,06081006,
25e^{-2,8}\approx25\cdot0,06081006\approx1,520251565,
f(1,4)=1,4-1,520251565\approx-0,120251565.
Para x_1=1,5:
e^{-2\cdot1,5}=e^{-3}\approx0,04978707,
25e^{-3}\approx25\cdot0,04978707\approx1,244676767,
f(1,5)=1,5-1,244676767\approx0,255323233.
Observação rápida: f(1,4)<0 e f(1,5)>0, então existe uma raiz entre 1,4 e 1,5.

Passo 4

Primeira iteração (calcular x_2 pela fórmula das secantes):
x_2 = x_1 - f(x_1)\,\frac{x_1-x_0}{f(x_1)-f(x_0)}.
Substituindo os valores calculados:
x_2 = 1,5 - 0,255323233\cdot\frac{1,5-1,4}{0,255323233-(-0,120251565)}.
Calcular passo a passo:
1,5-1,4=0,1,
0,255323233-(-0,120251565)=0,375574798,
0,255323233\cdot0,1=0,0255323233,
\frac{0,0255323233}{0,375574798}\approx0,068025981.
Logo
x_2\approx1,5-0,068025981\approx1,431974019.
Agora calcular f(x_2):
e^{-2\cdot1,431974019}=e^{-2,863948038}\approx0,057038,
25e^{-2,863948038}\approx25\cdot0,057038\approx1,425950,
f(1,431974019)=1,431974019-1,425950\approx0,006024019.
(Os números de e^{\cdot} foram arredondados para manter a conta à mão; a precisão é suficiente para o critério pedido.)

Passo 5

Aplicar o critério com k=2:
\frac{|x_2-x_1|}{|x_2|}=\frac{|1,431974019-1,5|}{1,431974019}=\frac{0,068025981}{1,431974019}\approx0,0475.
Como 0,0475>\varepsilon(=0,01), ainda não alcançamos a precisão pedida. Continuamos com outra iteração.

Passo 6

Segunda iteração (usar x_1 e x_2 para obter x_3):
x_3 = x_2 - f(x_2)\,\frac{x_2-x_1}{f(x_2)-f(x_1)}.
Substituindo:
x_3 \approx 1,431974019 - 0,006024019\cdot\frac{1,431974019-1,5}{0,006024019-0,255323233}.
Calcular passo a passo:
1,431974019-1,5=-0,068025981,
0,006024019-0,255323233=-0,249299214,
0,006024019\cdot(-0,068025981)=-0,000409644,
\frac{-0,000409644}{-0,249299214}\approx0,001643100.
Logo
x_3\approx1,431974019-0,001643100\approx1,430330919.
Calcular f(x_3) para verificar comportamento:
e^{-2\cdot1,430330919}=e^{-2,860661838}\approx0,057213,
25e^{-2,860661838}\approx25\cdot0,057213\approx1,430325,
f(1,430330919)\approx1,430330919-1,430325\approx0,000005919.
(O valor de f(x_3) é muito pequeno — confirmando aproximação perto da raiz.)

Passo 7

Aplicar o critério com k=3:
\frac{|x_3-x_2|}{|x_3|}=\frac{|1,430330919-1,431974019|}{1,430330919}=\frac{0,001643100}{1,430330919}\approx0,0011485.
Como 0,0011485<\varepsilon(=0,01), o critério de parada é satisfeito. Portanto podemos aceitar x_3 como a aproximação da raiz com a precisão solicitada.

Resposta

1,430330919

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