Questão 4. Sejam a, b, c números reais tais que a+b+c=0. Define-se a expressão E como:
E=\frac{a^{7}+b^{7}+c^{7}}{7}-\frac{\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)\left(a^{5}+b^{5}+c^{5}\right)}{10}
Assim, o valor de E^{2}+1 é:
A()-\frac{8}{9}
B()-\frac{3}{4}
C ( ) -1
D ( ) 0
E ( ) 1

Passo 1

O enunciado dá que a,b,c são números reais com
a+b+c=0,
e define
E=\frac{a^{7}+b^{7}+c^{7}}{7}-\frac{\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)\left(a^{5}+b^{5}+c^{5}\right)}{10}.
A pergunta é calcular o valor de E^{2}+1.
Informações relevantes dadas:
  • a+b+c=0.
  • Precisamos manipular somas de potências a^{k}+b^{k}+c^{k} para k=2,5,7.
  • O objetivo final é o número E^{2}+1.

Passo 2

Para trabalhar com somas de potências é útil introduzir notação padrão:
  • Denotar por p_k a soma das k-ésimas potências:
p_k = a^{k}+b^{k}+c^{k}.
  • Denotar as simétricas elementares por
e_1 = a+b+c,\qquad e_2 = ab+bc+ca,\qquad e_3 = abc.
Estas quantidades estão relacionadas pelas identidades de Newton (uma forma de relação entre as somas de potências p_k e as simétricas e_i). Vou usar essas relações e explicar cada passo devagar.

Passo 3

Usando e_1=a+b+c e a hipótese do enunciado, temos
e_1=0.
As primeiras relações de Newton para três variáveis são:
p_1 = e_1,
p_2 = e_1 p_1 - 2 e_2,
p_3 = e_1 p_2 - e_2 p_1 + 3 e_3.
Com e_1=0 essas se simplificam:
p_1=0,
p_2 = -2 e_2 \quad\Longrightarrow\quad e_2 = -\frac{p_2}{2},
p_3 = 3 e_3 \quad\Longrightarrow\quad e_3 = \frac{p_3}{3}.
Explicação didática: p_2 é a soma dos quadrados; em termos das simétricas, a identidade geral dá p_2 = (a+b+c)^2-2(ab+bc+ca). Com a+b+c=0 isso vira p_2=-2e_2, daí e_2=-p_2/2. Para p_3, a identidade clássica a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(\dots) com a+b+c=0 implica p_3=3e_3.

Passo 4

A partir das identidades de Newton, para k\ge 4 vale a recorrência (para três variáveis)
p_k = e_1 p_{k-1} - e_2 p_{k-2} + e_3 p_{k-3}.
Como e_1=0, essa recorrência simplifica-se para
p_k = - e_2\, p_{k-2} + e_3\, p_{k-3}\qquad\text{para }k\ge4.
Vou usar essa fórmula para calcular p_4,p_5,p_6,p_7 em função de p_2 e p_3 (isto é, em função de p_2 e p_3 porque e_2 e e_3 já foram expressos em termos deles).

Passo 5

Calcular p_4 usando a recorrência com k=4:
p_4 = -e_2 p_2 + e_3 p_1.
Como p_1=0, obtemos
p_4 = -e_2 p_2.

Passo 6

Calcular p_5 usando a recorrência com k=5:
p_5 = -e_2 p_3 + e_3 p_2.
Esta expressão já é direta em termos de e_2,e_3,p_2,p_3.

Passo 7

Calcular p_6 com k=6:
p_6 = -e_2 p_4 + e_3 p_3.
Substituindo p_4 = -e_2 p_2 (do Passo 5) dá
p_6 = -e_2(-e_2 p_2) + e_3 p_3 = e_2^2 p_2 + e_3 p_3.

Passo 8

Calcular p_7 com k=7:
p_7 = -e_2 p_5 + e_3 p_4.
Substituindo p_5 = -e_2 p_3 + e_3 p_2 (Passo 6) e p_4 = -e_2 p_2 (Passo 5) obtemos
\begin{aligned} p_7 &= -e_2\bigl(-e_2 p_3 + e_3 p_2\bigr) + e_3\bigl(-e_2 p_2\bigr)\\[4pt] &= e_2^2 p_3 - e_2 e_3 p_2 - e_2 e_3 p_2\\[4pt] &= e_2^2 p_3 - 2 e_2 e_3 p_2. \end{aligned}]

Passo 9

Agora reescrevemos E usando p_k:
E=\frac{p_7}{7}-\frac{p_2\,p_5}{10}.
Substituir as expressões de p_7 e p_5 encontradas:
p_7 = e_2^2 p_3 - 2 e_2 e_3 p_2,\qquad p_5 = -e_2 p_3 + e_3 p_2.
Então
\begin{aligned} E &= \frac{1}{7}\bigl(e_2^2 p_3 - 2 e_2 e_3 p_2\bigr) - \frac{p_2}{10}\bigl(-e_2 p_3 + e_3 p_2\bigr)\\[6pt] &= \frac{e_2^2 p_3}{7} - \frac{2 e_2 e_3 p_2}{7} + \frac{e_2 p_2 p_3}{10} - \frac{e_3 p_2^2}{10}. \end{aligned}]

Passo 10

Agora substituir e_2 e e_3 em função de p_2 e p_3 (do Passo 3):
e_2 = -\frac{p_2}{2},\qquad e_3 = \frac{p_3}{3}.
Calcular cada termo (fator comum p_2^2 p_3 aparecerá):
\begin{aligned} \frac{e_2^2 p_3}{7} &= \frac{1}{7}\cdot\frac{p_2^2}{4}\,p_3 = \frac{p_2^2 p_3}{28},\\[4pt] - \frac{2 e_2 e_3 p_2}{7} &= -\frac{2}{7}\cdot\Big(-\frac{p_2}{2}\Big)\cdot\frac{p_3}{3}\cdot p_2 = \frac{p_2^2 p_3}{21},\\[4pt] \frac{e_2 p_2 p_3}{10} &= \frac{1}{10}\cdot\Big(-\frac{p_2}{2}\Big)\cdot p_2\cdot p_3 = -\frac{p_2^2 p_3}{20},\\[4pt] - \frac{e_3 p_2^2}{10} &= -\frac{1}{10}\cdot\frac{p_3}{3}\cdot p_2^2 = -\frac{p_2^2 p_3}{30}. \end{aligned}
Somando esses quatro termos:
E = p_2^2 p_3\Bigl(\frac{1}{28}+\frac{1}{21}-\frac{1}{20}-\frac{1}{30}\Bigr).
Calcular o coeficiente dentro do parêntese. Usando denominador comum 420:
\frac{1}{28}=\frac{15}{420},\quad \frac{1}{21}=\frac{20}{420},\quad \frac{1}{20}=\frac{21}{420},\quad \frac{1}{30}=\frac{14}{420}.
Portanto o somatório é
\frac{15+20-21-14}{420}=\frac{0}{420}=0.
Logo
E = p_2^2 p_3\cdot 0 = 0.]

Passo 11

Concluímos que E=0. Portanto
E^{2}+1 = 0^{2}+1 = 1.

Resposta

1

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