Questão 4. Sejam
números reais tais que
. Define-se a expressão
como:
Assim, o valor de
é:
C ( ) -1
D ( ) 0
E ( ) 1
C ( ) -1
D ( ) 0
E ( ) 1
Passo 1
O enunciado dá que
são números reais com
e define
A pergunta é calcular o valor de
.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
-
. - Precisamos manipular somas de potências
para . - O objetivo final é o número
.
Passo 2
Para trabalhar com somas de potências é útil introduzir notação padrão:
- Denotar por
a soma das -ésimas potências:
- Denotar as simétricas elementares por
Estas quantidades estão relacionadas pelas identidades de Newton (uma forma de relação entre as somas de potências
e as simétricas
). Vou usar essas relações e explicar cada passo devagar.
Passo 3
Usando
e a hipótese do enunciado, temos
As primeiras relações de Newton para três variáveis são:
Com
essas se simplificam:
Explicação didática:
é a soma dos quadrados; em termos das simétricas, a identidade geral dá
. Com
isso vira
, daí
. Para
, a identidade clássica
com
implica
.
Passo 4
A partir das identidades de Newton, para
vale a recorrência (para três variáveis)
Como
, essa recorrência simplifica-se para
Vou usar essa fórmula para calcular
em função de
e
(isto é, em função de
e
porque
e
já foram expressos em termos deles).
Passo 5
Calcular
usando a recorrência com
:
Como
, obtemos
Passo 6
Calcular
usando a recorrência com
:
Esta expressão já é direta em termos de
.
Passo 7
Calcular
com
:
Substituindo
(do Passo 5) dá
Passo 8
Calcular
com
:
Substituindo
(Passo 6) e
(Passo 5) obtemos
Passo 9
Agora reescrevemos
usando
:
Substituir as expressões de
e
encontradas:
Então
Passo 10
Agora substituir
e
em função de
e
(do Passo 3):
Calcular cada termo (fator comum
aparecerá):
Somando esses quatro termos:
Calcular o coeficiente dentro do parêntese. Usando denominador comum
:
Portanto o somatório é
Logo
Passo 11
Concluímos que
. Portanto