Utilize o método das secantes para resolver a equação 2 x^{3}-1=0 com uma precisão \varepsilon=0.01 tomando como soluções iniciais x_{0}=0 e x_{1}=1.
Utilize como critério de parada \frac{\left|x_{k}-x_{k-1}\right|}{\left|x_{k}\right|}<\varepsilon.

Passo 1

O que o problema pede e os dados que temos.\n
  • Pede-se aproximar uma raiz da equação 2x^{3}-1=0 usando o método das secantes com precisão \varepsilon=0,01.\n
  • Critério de parada dado: \frac{\left|x_{k}-x_{k-1}\right|}{\left|x_{k}\right|}<\varepsilon.\n
  • Dados iniciais (fornecidos): x_{0}=0 e x_{1}=1.\n
  • Função envolvida (extraída do enunciado): f(x)=2x^{3}-1.\n
  • O objetivo final é entregar um x_{k} que satisfaça o critério acima com \varepsilon=0,01.\n

Passo 2

O que é o método das secantes e a fórmula que vamos usar (explicação passo a passo).\n
  • Intuição simples: a cada iteração aproximamos a função f por uma reta que passa pelos pontos \big(x_{k-1},f(x_{k-1})\big) e \big(x_{k},f(x_{k})\big) e tomamos como próxima aproximação a interseção dessa reta com o eixo x. Isso é parecido com Newton, só que em vez de usar a derivada exata usamos a inclinação aproximada (a “diferença” de f).\n
  • Fórmula da secante (fórmula operacional que usaremos): x_{k+1}=x_{k}-f(x_{k})\cdot\frac{x_{k}-x_{k-1}}{f(x_{k})-f(x_{k-1})}.\n
  • Explicando cada símbolo: x_{k} e x_{k-1} são as duas últimas aproximações conhecidas; f(x_{k}) e f(x_{k-1}) são os valores da função nesses pontos; x_{k+1} é a nova aproximação obtida pela interseção da reta secante com o eixo x.\n
  • Critério de parada (repetido): parar quando \dfrac{|x_{k}-x_{k-1}|}{|x_{k}|}<\varepsilon com \varepsilon=0,01.\n
  • Vamos calcular iterativamente até que o critério seja satisfeito. Em cada passo eu vou calcular f(x), aplicar a fórmula e calcular a razão de parada para verificar se paramos.\n

Passo 3

Cálculos iniciais: x_{0}, x_{1}, f(x_{0}), f(x_{1}) e x_{2}.\n
  • f(x)=2x^{3}-1.\n
  • f(x_{0})=f(0)=2\cdot0^{3}-1=-1.\n
  • f(x_{1})=f(1)=2\cdot1^{3}-1=1.\n
  • Aplicando a fórmula da secante para obter x_{2}: x_{2}=x_{1}-f(x_{1})\cdot\frac{x_{1}-x_{0}}{f(x_{1})-f(x_{0})} =1-1\cdot\frac{1-0}{1-(-1)}=1-\frac{1}{2}= \frac{1}{2}.\n
  • Resultado: x_{2}=\frac{1}{2}=0,5.\n
  • Verificação do critério para k=2: \frac{|x_{2}-x_{1}|}{|x_{2}|}=\frac{|0,5-1|}{0,5}=\frac{0,5}{0,5}=1,\quad\text{não satisfaz }(<0,01).ã\n

Passo 4

Iteração para obter x_{3}.\n
  • Já temos x_{1}=1, x_{2}=0,5; calcule f(x_{2}): f(0,5)=2\cdot(0,5)^{3}-1=2\cdot0,125-1=0,25-1=-0,75=\!-\tfrac{3}{4}.\n
  • Aplicando a fórmula: x_{3}=x_{2}-f(x_{2})\cdot\frac{x_{2}-x_{1}}{f(x_{2})-f(x_{1})} =0,5-(-0,75)\cdot\frac{0,5-1}{-0,75-1}.\n
  • Calcule passo a passo: 0,5-1=-0,5. O numerador do quociente fica (-0,75)\cdot(-0,5)=0,375. O denominador é -0,75-1=-1,75. Então a fração vale \dfrac{0,375}{-1,75}=-0,214285714\ldots. Assim x_{3}=0,5-(-0,214285714\ldots)=0,5+0,214285714\ldots=\frac{5}{7}\approx0,714285714.\n
  • Resultado exato: x_{3}=\dfrac{5}{7}\approx0,714285714.\n
  • Verificação do critério para k=3: \frac{|x_{3}-x_{2}|}{|x_{3}|}=\frac{|0,714285714-0,5|}{0,714285714} =\frac{0,214285714}{0,714285714}=0,3\quad\text{(não satisfaz)}.ã\n

Passo 5

Iteração para obter x_{4}.\n
  • Primeiro calculo f(x_{3}). Como x_{3}=\dfrac{5}{7} temos: f\!\left(\tfrac{5}{7}\right)=2\left(\tfrac{5}{7}\right)^{3}-1 =2\cdot\frac{125}{343}-1=\frac{250}{343}-1=\frac{250-343}{343}=-\frac{93}{343}\approx-0,271137028.\n
  • Aplicando a fórmula com x_{2}=0,5 e x_{3}\approx0,714285714: x_{4}=x_{3}-f(x_{3})\cdot\frac{x_{3}-x_{2}}{f(x_{3})-f(x_{2})}.\n
  • Numéricos: x_{3}-x_{2}=0,214285714. f(x_{3})-f(x_{2})\approx-0,271137028-(-0,75)=0,478862972. Produto f(x_{3})(x_{3}-x_{2})\approx(-0,271137028)\cdot0,214285714\approx-0,058100792. Dividindo \dfrac{-0,058100792}{0,478862972}\approx-0,121323714. Então x_{4}\approx0,714285714-(-0,121323714)=0,714285714+0,121323714\approx0,835609428.\n
  • Arredondando razoavelmente: x_{4}\approx0,8356097 (vou manter \,x_{4}\approx0,8356097 para as contas seguintes).\n
  • Verificação do critério para k=4: \frac{|x_{4}-x_{3}|}{|x_{4}|}=\frac{|0,8356097-0,7142857|}{0,8356097} =\frac{0,1213240}{0,8356097}\approx0,1452\quad\text{(ainda não satisfaz)}.ã\n

Passo 6

Iteração para obter x_{5}.\n
  • Calcule f(x_{4}) aproximadamente: f(0,8356097)=2\cdot(0,8356097)^{3}-1.\n
  • Estimando o cubo: (0,8356097)^{2}\approx0,698239, multiplicando por 0,8356097 (0,8356097)^{3}\approx0,583862. Então f(x_{4})\approx2\cdot0,583862-1\approx1,167724-1=0,167724.\n
  • Agora a fórmula (usando x_{3} e x_{4}): x_{5}=x_{4}-f(x_{4})\cdot\frac{x_{4}-x_{3}}{f(x_{4})-f(x_{3})}.\n
  • Numéricos: x_{4}-x_{3}\approx0,1213240. f(x_{4})-f(x_{3})\approx0,167724-(-0,271137)=0,438861. Produto f(x_{4})(x_{4}-x_{3})\approx0,167724\cdot0,1213240\approx0,020343. Dividindo \dfrac{0,020343}{0,438861}\approx0,046360. Então x_{5}\approx0,8356097-0,046360\approx0,7892497.\n
  • Verificação do critério para k=5: \frac{|x_{5}-x_{4}|}{|x_{5}|}=\frac{|0,7892497-0,8356097|}{0,7892497} =\frac{0,0463600}{0,7892497}\approx0,0587\quad\text{(ainda não satisfaz)}.ã\n

Passo 7

Iteração para obter x_{6} e checagem final do critério.\n
  • Calcule f(x_{5}) aproximadamente: f(0,7892497)=2\cdot(0,7892497)^{3}-1.\n
  • Estimando: (0,7892497)^{2}\approx0,622880, (0,7892497)^{3}\approx0,491000. Então f(x_{5})\approx2\cdot0,491000-1\approx0,982000-1=-0,018000 (aprox. -0,017999).\n
  • Aplicando a fórmula com x_{4} e x_{5}: x_{6}=x_{5}-f(x_{5})\cdot\frac{x_{5}-x_{4}}{f(x_{5})-f(x_{4})}.\n
  • Numéricos: x_{5}-x_{4}\approx-0,0463600. f(x_{5})-f(x_{4})\approx-0,017999-0,167724=-0,185723. Produto f(x_{5})(x_{5}-x_{4})\approx(-0,017999)\cdot(-0,0463600)\approx0,0008345. Dividindo \dfrac{0,0008345}{-0,185723}\approx-0,004493. Assim x_{6}\approx0,7892497-(-0,004493)=0,7892497+0,004493\approx0,7937427.\n
  • Verificação do critério para k=6: \frac{|x_{6}-x_{5}|}{|x_{6}|}=\frac{|0,7937427-0,7892497|}{0,7937427} =\frac{0,0044930}{0,7937427}\approx0,00566.\n
  • Como 0,00566<0,01, o critério de parada foi satisfeito em k=6. Portanto podemos aceitar x_{6} como aproximação com a precisão pedida.\n

Resposta

x\approx0,7937427

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