Utilize o método das secantes para resolver a equação
com uma precisão
tomando como soluções iniciais
e
.
Utilize como critério de parada
.
Utilize como critério de parada
Passo 1
O que o problema pede e os dados que temos.\n
- Pede-se aproximar uma raiz da equação
usando o método das secantes com precisão .\n - Critério de parada dado:
\n - Dados iniciais (fornecidos):
e .\n - Função envolvida (extraída do enunciado):
.\n - O objetivo final é entregar um
que satisfaça o critério acima com .\n
Passo 2
O que é o método das secantes e a fórmula que vamos usar (explicação passo a passo).\n
- Intuição simples: a cada iteração aproximamos a função
por uma reta que passa pelos pontos e e tomamos como próxima aproximação a interseção dessa reta com o eixo . Isso é parecido com Newton, só que em vez de usar a derivada exata usamos a inclinação aproximada (a “diferença” de ).\n - Fórmula da secante (fórmula operacional que usaremos):
\n - Explicando cada símbolo:
e são as duas últimas aproximações conhecidas; e são os valores da função nesses pontos; é a nova aproximação obtida pela interseção da reta secante com o eixo .\n - Critério de parada (repetido): parar quando
com .\n - Vamos calcular iterativamente até que o critério seja satisfeito. Em cada passo eu vou calcular
, aplicar a fórmula e calcular a razão de parada para verificar se paramos.\n
Passo 3
Cálculos iniciais:
,
,
,
e
.\n
-
.\n -
.\n -
.\n - Aplicando a fórmula da secante para obter
: \n - Resultado:
.\n - Verificação do critério para
: \n
Passo 4
Iteração para obter
.\n
- Já temos
, ; calcule : \n - Aplicando a fórmula:
\n - Calcule passo a passo:
. O numerador do quociente fica . O denominador é . Então a fração vale . Assim \n - Resultado exato:
.\n - Verificação do critério para
: \n
Passo 5
Iteração para obter
.\n
- Primeiro calculo
. Como temos: \n - Aplicando a fórmula com
e : \n - Numéricos:
. . Produto . Dividindo . Então \n - Arredondando razoavelmente:
(vou manter para as contas seguintes).\n - Verificação do critério para
: \n
Passo 6
Iteração para obter
.\n
- Calcule
aproximadamente: \n - Estimando o cubo:
, multiplicando por dá . Então .\n - Agora a fórmula (usando
e ): \n - Numéricos:
. . Produto . Dividindo . Então \n - Verificação do critério para
: \n
Passo 7
Iteração para obter
e checagem final do critério.\n
- Calcule
aproximadamente: \n - Estimando:
, . Então (aprox. ).\n - Aplicando a fórmula com
e : \n - Numéricos:
. . Produto . Dividindo . Assim \n - Verificação do critério para
: \n - Como
, o critério de parada foi satisfeito em . Portanto podemos aceitar como aproximação com a precisão pedida.\n