Determine a raiz real de f(x)=5 x^{3}-5 x^{2}+6 x-2 :
(a) Graficamente.
(b) Usando o método da bissecção para localizar a raiz. Use as aproximações iniciais x_{l}=0 e x_{u}=1 e itere até que o erro estimado \varepsilon_{a} fique abaixo de um nível \varepsilon_{s}=10 \%.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar a raiz real da função f(x)=5x^{3}-5x^{2}+6x-2 de duas maneiras:
    (a) graficamente;
    (b) pelo método da bissecção, com x_{l}=0, x_{u}=1 e iterar até que o erro estimado \varepsilon_{a} fique abaixo de \varepsilon_{s}=10\%.
Informações úteis fornecidas e primeiras observações (valores que vou usar):
  • A função é f(x)=5x^{3}-5x^{2}+6x-2.
  • Valores avaliados inicialmente:
    • f(0)= -2.
    • f(1)=5-5+6-2=4.
  • O intervalo inicial sugerido para a bissecção é [x_{l},x_{u}]=[0,1], e há troca de sinal entre f(0) e f(1), o que garante, por Bolzano, a existência de pelo menos uma raiz real em [0,1].

Passo 2

Entendendo a forma da função (isso ajuda a fazer o “gráfico mental”):
  • Vou estudar a derivada para saber se a função pode ter mais de uma raiz real: f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(5x^{3}-5x^{2}+6x-2\bigr)=15x^{2}-10x+6.
  • Calculo o discriminante do polinômio quadrático 15x^{2}-10x+6: \Delta = (-10)^{2}-4\cdot15\cdot6 = 100-360 = -260 < 0.Como \Delta<0 e o coeficiente de x^{2} é positivo ( 15>0), a derivada f'(x) é positiva para todo x. Portanto f é estritamente crescente em toda a reta.
  • Conclusão prática: sendo f estritamente crescente, ela só pode cruzar o eixo x uma única vez — isto é, existe exatamente uma raiz real. Como f(0)=-2<0 e f(1)=4>0, essa raiz única está em [0,1].
Interpretação gráfica (resumida e didática):
  • Um gráfico de uma função estritamente crescente que passa por f(0)=-2 e f(1)=4 cruzará o eixo x uma vez entre 0 e 1. Para uma aproximação gráfica prática pode-se avaliar pontos intermediários para localizar aproximadamente onde ocorre a troca de sinal. Por exemplo:
    • f(0,25)=-0,734375 (negativo),
    • f(0,5)=0,375 (positivo).
  • Assim, graficamente (e por avaliação de ponto a ponto) a raiz está entre 0,25 e 0,5. Com avaliações mais finas (como as que faremos na bissecção) obtemos uma aproximação numérica; a aproximação obtida pela bissecção será a resposta gráfica numérica também: aproximadamente x\approx0,40625.

Passo 3

Explicando o método da bissecção (aula prática):
  • A ideia: dado um intervalo [x_{l},x_{u}] com f(x_{l})\cdot f(x_{u})<0, a cada iteração toma-se o ponto médio x_{r}=\frac{x_{l}+x_{u}}{2}e verifica-se o sinal de f(x_{r}).
    • Se f(x_{l})\cdot f(x_{r})<0 então a raiz está em [x_{l},x_{r}] e define-se x_{u}=x_{r}.
    • Caso contrário, a raiz está em [x_{r},x_{u}] e define-se x_{l}=x_{r}.
  • Estimativa de erro relativa aproximado (usada como critério de parada): entre duas aproximações sucessivas x_{r}^{(k)} e x_{r}^{(k-1)} define-se o erro aproximado relativo \varepsilon_{a}^{(k)} = \left|\frac{x_{r}^{(k)}-x_{r}^{(k-1)}}{x_{r}^{(k)}}\right|\times100\%.Parar quando \varepsilon_{a}^{(k)}<\varepsilon_{s} (aqui \varepsilon_{s}=10\%).
  • Observação: como f é contínua e tem troca de sinal no intervalo inicial, a bissecção converge e reduz o comprimento do intervalo pela metade a cada iteração. Vou aplicar o método exatamente com x_{l}=0 e x_{u}=1.

Passo 4

Aplicando a bissecção passo a passo (cada iteração mostro x_{l}, x_{u}, x_{r}, f(x_{r}) e \varepsilon_{a} quando aplicável).
Iteração 1:
  • x_{l}=0,\; f(x_{l})=-2.
  • x_{u}=1,\; f(x_{u})=4.
  • x_{r}^{(1)}=\dfrac{0+1}{2}=0,5.
  • f(0,5)=5(0,5)^{3}-5(0,5)^{2}+6(0,5)-2=0,375>0.
  • Como f(0)\cdot f(0,5)=-2\cdot0,375<0, a raiz está em [0,\,0,5].
  • Não há \varepsilon_{a} ainda (não existe x_{r}^{(0)}).
Iteração 2:
  • Novo intervalo: x_{l}=0,\; x_{u}=0,5.
  • x_{r}^{(2)}=\dfrac{0+0,5}{2}=0,25.
  • f(0,25)=-0,734375<0.
  • Agora f(0,25)\cdot f(0,5)<0, logo a raiz está em [0,25,\,0,5]. Atualizo x_{l}=0,25.
  • Erro aproximado relativo comparando com a iteração anterior: \varepsilon_{a}^{(2)}=\left|\frac{0,25-0,5}{0,25}\right|\times100\%=100\%>10\%.
Iteração 3:
  • Intervalo: [0,25,\,0,5].
  • x_{r}^{(3)}=\dfrac{0,25+0,5}{2}=0,375.
  • f(0,375)= -0,189453125<0.
  • Como f(0,375)\cdot f(0,5)<0, a raiz está em [0,375,\,0,5]. Atualizo x_{l}=0,375.
  • Erro aproximado: \varepsilon_{a}^{(3)}=\left|\frac{0,375-0,25}{0,375}\right|\times100\%=33{,}333\%>10\%.
Iteração 4:
  • Intervalo: [0,375,\,0,5].
  • x_{r}^{(4)}=\dfrac{0,375+0,5}{2}=0,4375.
  • f(0,4375)=0,086669921875>0.
  • Como f(0,375)\cdot f(0,4375)<0, a raiz está em [0,375,\,0,4375]. Atualizo x_{u}=0,4375.
  • Erro aproximado: \varepsilon_{a}^{(4)}=\left|\frac{0,4375-0,375}{0,4375}\right|\times100\%=14{,}2857\%>10\%.
Iteração 5:
  • Intervalo: [0,375,\,0,4375].
  • x_{r}^{(5)}=\dfrac{0,375+0,4375}{2}=0,40625.
  • f(0,40625)= -0,052154541015625<0.
  • Como f(0,40625)\cdot f(0,4375)<0, a raiz está em [0,40625,\,0,4375]. Atualizo x_{l}=0,40625.
  • Erro aproximado: \varepsilon_{a}^{(5)}=\left|\frac{0,40625-0,4375}{0,40625}\right|\times100\%=7{,}692\% < 10\%.
  • Critério de parada satisfeito: \varepsilon_{a}^{(5)}<\varepsilon_{s}=10\%.
Observações numéricas:
  • Após 5 iterações obteve-se x_{r}^{(5)}=0,40625 com \varepsilon_{a}\approx7{,}692\%.
  • Como a função é estritamente crescente e há só uma raiz real, essa aproximação é a raiz real procurada, aproximada ao nível exigido.

Passo 5

Interpretação final e dica para a prova:
  • Graficamente: identificar troca de sinal entre f(0) e f(1) e notar que f é crescente (derivada sem raízes reais) garante uma única interseção do gráfico com o eixo x em [0,1]; avaliando pontos chega-se à mesma aproximação numérica que a bissecção.
  • Pelo método da bissecção com x_{l}=0 e x_{u}=1 e critério \varepsilon_{s}=10\%, foram necessárias 5 iterações para que \varepsilon_{a}<10\%. A aproximação final é x\approx0,40625.

Resposta

(a) x\approx0,40625
(b) x\approx0,40625 (obtido por bissecção com x_{l}=0, x_{u}=1; 5 iterações; \varepsilon_{a}\approx7{,}692\%)

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