Determine a raiz real de f(x)=5 x^{3}-5 x^{2}+6 x-2 :
(a) Graficamente.
(b) Usando o método da bissecção para localizar a raiz. Use as aproximações iniciais x_{l}=0 e x_{u}=1 e itere até que o erro estimado \varepsilon_{a} fique abaixo de um nível \varepsilon_{s}=10 \%.
Passo 1
O que o enunciado pede:
Determinar a raiz real da função f(x)=5x^{3}-5x^{2}+6x-2 de duas maneiras:
(a) graficamente;
(b) pelo método da bissecção, com x_{l}=0, x_{u}=1 e iterar até que o erro estimado \varepsilon_{a} fique abaixo de \varepsilon_{s}=10\%.
Informações úteis fornecidas e primeiras observações (valores que vou usar):
A função é f(x)=5x^{3}-5x^{2}+6x-2.
Valores avaliados inicialmente:
f(0)= -2.
f(1)=5-5+6-2=4.
O intervalo inicial sugerido para a bissecção é [x_{l},x_{u}]=[0,1], e há troca de sinal entre f(0) e f(1), o que garante, por Bolzano, a existência de pelo menos uma raiz real em [0,1].
Passo 2
Entendendo a forma da função (isso ajuda a fazer o “gráfico mental”):
Vou estudar a derivada para saber se a função pode ter mais de uma raiz real:f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(5x^{3}-5x^{2}+6x-2\bigr)=15x^{2}-10x+6.
Calculo o discriminante do polinômio quadrático 15x^{2}-10x+6:\Delta = (-10)^{2}-4\cdot15\cdot6 = 100-360 = -260 < 0.Como \Delta<0 e o coeficiente de x^{2} é positivo (15>0), a derivada f'(x) é positiva para todo x. Portanto f é estritamente crescente em toda a reta.
Conclusão prática: sendo f estritamente crescente, ela só pode cruzar o eixo x uma única vez — isto é, existe exatamente uma raiz real. Como f(0)=-2<0 e f(1)=4>0, essa raiz única está em [0,1].
Interpretação gráfica (resumida e didática):
Um gráfico de uma função estritamente crescente que passa por f(0)=-2 e f(1)=4 cruzará o eixo x uma vez entre 0 e 1. Para uma aproximação gráfica prática pode-se avaliar pontos intermediários para localizar aproximadamente onde ocorre a troca de sinal. Por exemplo:
f(0,25)=-0,734375 (negativo),
f(0,5)=0,375 (positivo).
Assim, graficamente (e por avaliação de ponto a ponto) a raiz está entre 0,25 e 0,5. Com avaliações mais finas (como as que faremos na bissecção) obtemos uma aproximação numérica; a aproximação obtida pela bissecção será a resposta gráfica numérica também: aproximadamente x\approx0,40625.
Passo 3
Explicando o método da bissecção (aula prática):
A ideia: dado um intervalo [x_{l},x_{u}] com f(x_{l})\cdot f(x_{u})<0, a cada iteração toma-se o ponto médiox_{r}=\frac{x_{l}+x_{u}}{2}e verifica-se o sinal de f(x_{r}).
Se f(x_{l})\cdot f(x_{r})<0 então a raiz está em [x_{l},x_{r}] e define-se x_{u}=x_{r}.
Caso contrário, a raiz está em [x_{r},x_{u}] e define-se x_{l}=x_{r}.
Estimativa de erro relativa aproximado (usada como critério de parada): entre duas aproximações sucessivas x_{r}^{(k)} e x_{r}^{(k-1)} define-se o erro aproximado relativo\varepsilon_{a}^{(k)} = \left|\frac{x_{r}^{(k)}-x_{r}^{(k-1)}}{x_{r}^{(k)}}\right|\times100\%.Parar quando \varepsilon_{a}^{(k)}<\varepsilon_{s} (aqui \varepsilon_{s}=10\%).
Observação: como f é contínua e tem troca de sinal no intervalo inicial, a bissecção converge e reduz o comprimento do intervalo pela metade a cada iteração. Vou aplicar o método exatamente com x_{l}=0 e x_{u}=1.
Passo 4
Aplicando a bissecção passo a passo (cada iteração mostro x_{l}, x_{u}, x_{r}, f(x_{r}) e \varepsilon_{a} quando aplicável).
Iteração 1:
x_{l}=0,\; f(x_{l})=-2.
x_{u}=1,\; f(x_{u})=4.
x_{r}^{(1)}=\dfrac{0+1}{2}=0,5.
f(0,5)=5(0,5)^{3}-5(0,5)^{2}+6(0,5)-2=0,375>0.
Como f(0)\cdot f(0,5)=-2\cdot0,375<0, a raiz está em [0,\,0,5].
Não há \varepsilon_{a} ainda (não existe x_{r}^{(0)}).
Iteração 2:
Novo intervalo: x_{l}=0,\; x_{u}=0,5.
x_{r}^{(2)}=\dfrac{0+0,5}{2}=0,25.
f(0,25)=-0,734375<0.
Agora f(0,25)\cdot f(0,5)<0, logo a raiz está em [0,25,\,0,5]. Atualizo x_{l}=0,25.
Erro aproximado relativo comparando com a iteração anterior:\varepsilon_{a}^{(2)}=\left|\frac{0,25-0,5}{0,25}\right|\times100\%=100\%>10\%.
Iteração 3:
Intervalo: [0,25,\,0,5].
x_{r}^{(3)}=\dfrac{0,25+0,5}{2}=0,375.
f(0,375)= -0,189453125<0.
Como f(0,375)\cdot f(0,5)<0, a raiz está em [0,375,\,0,5]. Atualizo x_{l}=0,375.
Critério de parada satisfeito: \varepsilon_{a}^{(5)}<\varepsilon_{s}=10\%.
Observações numéricas:
Após 5 iterações obteve-se x_{r}^{(5)}=0,40625 com \varepsilon_{a}\approx7{,}692\%.
Como a função é estritamente crescente e há só uma raiz real, essa aproximação é a raiz real procurada, aproximada ao nível exigido.
Passo 5
Interpretação final e dica para a prova:
Graficamente: identificar troca de sinal entre f(0) e f(1) e notar que f é crescente (derivada sem raízes reais) garante uma única interseção do gráfico com o eixo x em [0,1]; avaliando pontos chega-se à mesma aproximação numérica que a bissecção.
Pelo método da bissecção com x_{l}=0 e x_{u}=1 e critério \varepsilon_{s}=10\%, foram necessárias 5 iterações para que \varepsilon_{a}<10\%. A aproximação final é x\approx0,40625.
Resposta
(a) x\approx0,40625
(b) x\approx0,40625 (obtido por bissecção com x_{l}=0, x_{u}=1; 5 iterações; \varepsilon_{a}\approx7{,}692\%)