A velocidade v do paraquedista em queda livre é dada por
v=\frac{g m}{c}\left(1-e^{-(c / m) t}\right)
em que g=9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Para um paraquedista com um coeficiente de arrasto c=15 \mathrm{Kg} / \mathrm{s} calcule a massa m para que a velocidade seja v=35 \mathrm{~m} / \mathrm{s} em t=9 \mathrm{~s}. Use o método da bisseção para determinar m até o nível de \varepsilon_{s}=0,1 \%.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a massa m (em \mathrm{kg}) tal que a velocidade do paraquedista dada por
v=\frac{g m}{c}\left(1-e^{-(c / m) t}\right)
seja v=35\\ \mathrm{m/s} no tempo t=9\\ \mathrm{s}, usando o método da bisseção com precisão relativa \varepsilon_{s}=0{,}1\%.
Informações dadas:
g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}} (aceleração da gravidade).
c=15\\ \mathrm{kg/s} (coeficiente de arrasto).
t=9\\ \mathrm{s}.
velocidade alvo v_{\text{alvo}}=35\\ \mathrm{m/s}.
critério de parada: erro relativo aproximado menor que \varepsilon_{s}=0{,}1\%=0{,}001 (em fração).
O que precisamos fazer: resolver numericamente a equação para m
\frac{g m}{c}\left(1-e^{-(c / m) t}\right)-v_{\text{alvo}}=0
por bisseção até que a aproximação satisfaça o critério de erro relativo.
Passo 2
Montar a função que vamos zerar por bisseção. Defino a função
f(m)=\frac{g m}{c}\left(1-e^{-(c / m) t}\right)-v_{\text{alvo}}.
Explicando cada termo:
m é a variável desconhecida (massa em \mathrm{kg}).
g e c são constantes dadas.
t é o instante em que a velocidade é medida.
e^{-(c/m)t} é a exponencial que depende de m.
Queremos f(m)=0.
Comportamento da função (intuição importante para escolher o intervalo inicial):
Quando m\to 0^{+} tem-se e^{-(c/m)t}\to 0 e então v\approx (g m / c)\to 0, logo f(m)<0 para m muito pequeno.
Quando m\to+\infty faz e^{-(c/m)t}\to 1-(ct)/m+\dots e então v\to g t. Aqui g t=9{,}8\cdot 9=88{,}2\\ \mathrm{m/s}, logo f(m)\to 88{,}2-35=+53{,}2>0.
Assim existe pelo menos uma raiz positiva e podemos achar um intervalo [a,b] com f(a)<0 e f(b)>0.
Escolhi (por tentativa e observação) o intervalo inicial
a=40\\ \mathrm{kg},\qquad b=80\\ \mathrm{kg},
porque cálculos rápidos mostram f(40)<0 e f(80)>0 (vou apresentar esses cálculos no passo seguinte).
Passo 3
Relembrando o método da bisseção (passo a passo):
Começar com um intervalo [a,b] tal que f(a)\cdot f(b)<0.
Calcular o ponto médio m_{\text{mid}}=(a+b)/2.
Avaliar f(m_{\text{mid}}). Se f(m_{\text{mid}})=0 paramos; senão, substituímos o extremo que tem mesmo sinal que f(m_{\text{mid}}) por m_{\text{mid}} (ou seja, mantemos o subintervalo onde há mudança de sinal).
Repetir até que o erro relativo aproximado entre duas aproximações sucessivas satisfaça
Como f(40)<0 e f(80)>0, o intervalo [40,80] é válido para bisseção.
Passo 5
Agora inicio as iterações da bisseção. Em cada iteração mostro m_{\text{mid}}, o valor aproximado de f(m_{\text{mid}}) e a atualização do intervalo. Vou escrever os valores numéricos aproximados (com precisão suficiente para a decisão).
que é menor que \varepsilon_{s}=0{,}1\%. Portanto atingimos a precisão requerida e podemos parar.
Observação didática: o critério usado é o erro relativo aproximado baseado em duas estimativas sucessivas do ponto médio. Isso é clássico na aplicação do método da bisseção em provas/exames.