A velocidade v do paraquedista em queda livre é dada por
v=\frac{g m}{c}\left(1-e^{-(c / m) t}\right)
em que g=9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Para um paraquedista com um coeficiente de arrasto c=15 \mathrm{Kg} / \mathrm{s} calcule a massa m para que a velocidade seja v=35 \mathrm{~m} / \mathrm{s} em t=9 \mathrm{~s}. Use o método da bisseção para determinar m até o nível de \varepsilon_{s}=0,1 \%.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a massa m (em \mathrm{kg}) tal que a velocidade do paraquedista dada por
v=\frac{g m}{c}\left(1-e^{-(c / m) t}\right)
seja v=35\\ \mathrm{m/s} no tempo t=9\\ \mathrm{s}, usando o método da bisseção com precisão relativa \varepsilon_{s}=0{,}1\%.
Informações dadas:
  • g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}} (aceleração da gravidade).
  • c=15\\ \mathrm{kg/s} (coeficiente de arrasto).
  • t=9\\ \mathrm{s}.
  • velocidade alvo v_{\text{alvo}}=35\\ \mathrm{m/s}.
  • critério de parada: erro relativo aproximado menor que \varepsilon_{s}=0{,}1\%=0{,}001 (em fração).
O que precisamos fazer: resolver numericamente a equação para m
\frac{g m}{c}\left(1-e^{-(c / m) t}\right)-v_{\text{alvo}}=0
por bisseção até que a aproximação satisfaça o critério de erro relativo.

Passo 2

Montar a função que vamos zerar por bisseção. Defino a função
f(m)=\frac{g m}{c}\left(1-e^{-(c / m) t}\right)-v_{\text{alvo}}.
Explicando cada termo:
  • m é a variável desconhecida (massa em \mathrm{kg}).
  • g e c são constantes dadas.
  • t é o instante em que a velocidade é medida.
  • e^{-(c/m)t} é a exponencial que depende de m.
    Queremos f(m)=0.
Comportamento da função (intuição importante para escolher o intervalo inicial):
  • Quando m\to 0^{+} tem-se e^{-(c/m)t}\to 0 e então v\approx (g m / c)\to 0, logo f(m)<0 para m muito pequeno.
  • Quando m\to+\infty faz e^{-(c/m)t}\to 1-(ct)/m+\dots e então v\to g t. Aqui g t=9{,}8\cdot 9=88{,}2\\ \mathrm{m/s}, logo f(m)\to 88{,}2-35=+53{,}2>0.
    Assim existe pelo menos uma raiz positiva e podemos achar um intervalo [a,b] com f(a)<0 e f(b)>0.
Escolhi (por tentativa e observação) o intervalo inicial
a=40\\ \mathrm{kg},\qquad b=80\\ \mathrm{kg},
porque cálculos rápidos mostram f(40)<0 e f(80)>0 (vou apresentar esses cálculos no passo seguinte).

Passo 3

Relembrando o método da bisseção (passo a passo):
  1. Começar com um intervalo [a,b] tal que f(a)\cdot f(b)<0.
  2. Calcular o ponto médio m_{\text{mid}}=(a+b)/2.
  3. Avaliar f(m_{\text{mid}}). Se f(m_{\text{mid}})=0 paramos; senão, substituímos o extremo que tem mesmo sinal que f(m_{\text{mid}}) por m_{\text{mid}} (ou seja, mantemos o subintervalo onde há mudança de sinal).
  4. Repetir até que o erro relativo aproximado entre duas aproximações sucessivas satisfaça
\varepsilon_{a}=\left|\frac{m_{\text{new}}-m_{\text{old}}}{m_{\text{new}}}\right|<\varepsilon_{s}.
Vou seguir exatamente esse critério.
Antes de iterar, calculo f(a) e f(b) para confirmar o bracket.

Passo 4

Cálculos iniciais para confirmar o intervalo [40,80].
Avalio a função usando g=9{,}8, c=15, t=9 e v_{\text{alvo}}=35.
Para m=40:
\text{expoente}=-\frac{c}{m}t=-\frac{15}{40}\cdot 9=-3{,}375,
e^{-3{,}375}\approx 0{,}0343,
\frac{g m}{c}=\frac{9{,}8\cdot 40}{15}=26{,}1333\ldots
v(40)=26{,}1333\cdot(1-0{,}0343)\approx 25{,}24\\ \mathrm{m/s},
f(40)=25{,}24-35\approx -9{,}76\quad(\text{negativo}).
Para m=80:
\text{expoente}=-\frac{15}{80}\cdot 9=-1{,}6875,
e^{-1{,}6875}\approx 0{,}185,
\frac{g m}{c}=\frac{9{,}8\cdot 80}{15}=52{,}2667,
v(80)=52{,}2667\cdot(1-0{,}185)\approx 42{,}58\\ \mathrm{m/s},
f(80)=42{,}58-35\approx +7{,}58\quad(\text{positivo}).
Como f(40)<0 e f(80)>0, o intervalo [40,80] é válido para bisseção.

Passo 5

Agora inicio as iterações da bisseção. Em cada iteração mostro m_{\text{mid}}, o valor aproximado de f(m_{\text{mid}}) e a atualização do intervalo. Vou escrever os valores numéricos aproximados (com precisão suficiente para a decisão).
Iteração 1:
m_{1}=\frac{40+80}{2}=60{,}000\\ \mathrm{kg}.
Calculo rápido:
\text{expoente}=-\frac{15}{60}\cdot 9=-2{,}25,\quad e^{-2{,}25}\approx 0{,}105399,
\frac{g m_{1}}{c}=39{,}2,\quad v(60)=39{,}2\cdot(1-0{,}105399)\approx 35{,}068.
f(60)\approx +0{,}068\\ (\text{positivo}).
Como f(40)<0 e f(60)>0, o novo intervalo é [40,60].
Iteração 2:
m_{2}=\frac{40+60}{2}=50{,}000\\ \mathrm{kg}.
\text{expoente}=-\frac{15}{50}\cdot 9=-2{,}7,\quad e^{-2{,}7}\approx 0{,}067205,
\frac{g m_{2}}{c}=32{,}6667,\quad v(50)\approx 32{,}6667\cdot(1-0{,}067205)\approx 30{,}48,
f(50)\approx -4{,}52\\ (\text{negativo}).
Como f(50)<0 e f(60)>0, o novo intervalo é [50,60].
Iteração 3:
m_{3}=\frac{50+60}{2}=55{,}000\\ \mathrm{kg}.
\text{expoente}=-\frac{15}{55}\cdot 9\approx -2{,}4545,\quad e^{-2{,}4545}\approx 0{,}0859,
\frac{g m_{3}}{c}=35{,}9333,\quad v(55)\approx 35{,}9333\cdot(1-0{,}0859)\approx 32{,}84,
f(55)\approx -2{,}16\\ (\text{negativo}).
Novo intervalo: [55,60].
Iteração 4:
m_{4}=\frac{55+60}{2}=57{,}500\\ \mathrm{kg}.
\text{expoente}\approx -2{,}3478,\quad e^{-2{,}3478}\approx 0{,}0956,
\frac{g m_{4}}{c}\approx 37{,}5667,\quad v(57{,}5)\approx 37{,}5667\cdot(1-0{,}0956)\approx 33{,}97,
f(57{,}5)\approx -1{,}03\\ (\text{negativo}).
Novo intervalo: [57{,}5,60].
Iteração 5:
m_{5}=\frac{57{,}5+60}{2}=58{,}750\\ \mathrm{kg}.
\text{expoente}\approx -2{,}2979,\quad e^{-2{,}2979}\approx 0{,}1004,
\frac{g m_{5}}{c}\approx 38{,}3833,\quad v(58{,}75)\approx 38{,}3833\cdot(1-0{,}1004)\approx 34{,}55,
f(58{,}75)\approx -0{,}45\\ (\text{negativo}).
Novo intervalo: [58{,}75,60].
Iteração 6:
m_{6}=\frac{58{,}75+60}{2}=59{,}375\\ \mathrm{kg}.
\text{expoente}\approx -2{,}2680,\quad e^{-2{,}2680}\approx 0{,}1039,
\frac{g m_{6}}{c}\approx 38{,}7917,\quad v(59{,}375)\approx 38{,}7917\cdot(1-0{,}1039)\approx 34{,}81,
f(59{,}375)\approx -0{,}19\\ (\text{negativo}).
Novo intervalo: [59{,}375,60].
Iteração 7:
m_{7}=\frac{59{,}375+60}{2}=59{,}6875\\ \mathrm{kg}.
\text{expoente}\approx -2{,}2618,\quad e^{-2{,}2618}\approx 0{,}1041,
\frac{g m_{7}}{c}\approx 38{,}9958,\quad v(59{,}6875)\approx 38{,}9958\cdot(1-0{,}1041)\approx 34{,}94,
f(59{,}6875)\approx -0{,}059\\ (\text{negativo}).
Novo intervalo: [59{,}6875,60].
Iteração 8:
m_{8}=\frac{59{,}6875+60}{2}=59{,}84375\\ \mathrm{kg}.
\text{expoente}\approx -2{,}2572,\quad e^{-2{,}2572}\approx 0{,}1045,
\frac{g m_{8}}{c}\approx 39{,}0979,\quad v(59{,}84375)\approx 39{,}0979\cdot(1-0{,}1045)\approx 35{,}01,
f(59{,}84375)\approx +0{,}012\\ (\text{positivo}).
Agora f(59{,}6875)<0 e f(59{,}84375)>0, então o novo intervalo é [59{,}6875,59{,}84375].

Passo 6

Continuo até atingir o critério de erro relativo.
Iteração 9:
m_{9}=\frac{59{,}6875+59{,}84375}{2}=59{,}765625\\ \mathrm{kg}.
Avaliação rápida deu
f(59{,}765625)\approx -0{,}0296\\ (\text{negativo}),
então o intervalo passa a ser [59{,}765625,59{,}84375].
Calculo do erro relativo aproximado entre m_{9} e m_{8}:
\varepsilon_{a}=\left|\frac{m_{9}-m_{8}}{m_{9}}\right| =\left|\frac{59{,}765625-59{,}84375}{59{,}765625}\right| \approx \frac{0{,}078125}{59{,}765625}\approx 0{,}001307\approx 0{,}1307\%,
que é maior que 0{,}1\%, portanto ainda não podemos parar.
Iteração 10:
m_{10}=\frac{59{,}765625+59{,}84375}{2}=59{,}8046875\\ \mathrm{kg}.
Avaliação rápida mostrou
f(59{,}8046875)\approx -0{,}0119\\ (\text{negativo}),
então o intervalo passa a ser [59{,}8046875,59{,}84375].
Agora calculo o erro relativo aproximado entre m_{10} e m_{9}:
\varepsilon_{a}=\left|\frac{m_{10}-m_{9}}{m_{10}}\right| =\left|\frac{59{,}8046875-59{,}765625}{59{,}8046875}\right| =\frac{0{,}0390625}{59{,}8046875}\approx 0{,}000653\approx 0{,}0653\%,
que é menor que \varepsilon_{s}=0{,}1\%. Portanto atingimos a precisão requerida e podemos parar.
Observação didática: o critério usado é o erro relativo aproximado baseado em duas estimativas sucessivas do ponto médio. Isso é clássico na aplicação do método da bisseção em provas/exames.

Resposta

m\approx 59{,}8046875\\ \mathrm{kg}

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