Localize a raiz da função f dada por
f(x)=x^{10}-1com aproximações iniciais x_{1}=0 e x_{2}=1,3, usando os seguintes métodos:
(b) O método regula falsi (quatro iterações).

Passo 1

O enunciado pede para localizar a raiz de
f(x)=x^{10}-1
no intervalo inicial (x_{1},x_{2})=(0,\,1{,}3) usando o método da falsa posição (regula falsi) em quatro iterações. Vamos aplicar a fórmula
x_{k+2} = \frac{x_{1}\,f(x_{2})-x_{2}\,f(x_{1})}{f(x_{2})-f(x_{1})}
atualizando o intervalo a cada iteração conforme o sinal de f.

Passo 2

Calculamos os valores iniciais:
f(x_{1})=f(0)=0^{10}-1=-1, \qquad f(x_{2})=f(1{,}3)=1{,}3^{10}-1\approx 12{,}7873.
Como f(x_{1})<0 e f(x_{2})>0, há raiz em (0,1{,}3).

Passo 3

1ª iteração:
x_{3} = \frac{0\cdot 12{,}7873 - 1{,}3\cdot(-1)}{12{,}7873 - (-1)} = \frac{1{,}3}{13{,}7873} \approx 0{,}09426.
Avalia-mos
f(x_{3})\approx (0{,}09426)^{10}-1\approx -0{,}9999999999,
logo o sinal é negativo e substituímos x_{1}\leftarrow x_{3}.

Passo 4

2ª iteração:
x_{4} = \frac{0{,}09426\cdot 12{,}7873 - 1{,}3\cdot(-0{,}9999999999)}{12{,}7873 - (-0{,}9999999999)} \approx 0{,}18163.
Calculamos
f(x_{4})\approx (0{,}18163)^{10}-1\approx -0{,}99999996,
novamente negativo, então x_{1}\leftarrow x_{4}.

Passo 5

3ª iteração:
x_{5} = \frac{0{,}18163\cdot 12{,}7873 - 1{,}3\cdot(-0{,}99999996)}{12{,}7873 - (-0{,}99999996)} \approx 0{,}26274.
E
f(x_{5})\approx (0{,}26274)^{10}-1\approx -0{,}99999844,
ainda negativo, então x_{1}\leftarrow x_{5}.

Passo 6

4ª iteração:
x_{6} = \frac{0{,}26274\cdot 12{,}7873 - 1{,}3\cdot(-0{,}99999844)}{12{,}7873 - (-0{,}99999844)} \approx 0{,}33814.
E
f(x_{6})\approx (0{,}33814)^{10}-1\approx -0{,}99998046.
O sinal continua negativo, mas esta é a aproximação após quatro iterações.

Resposta

Após quatro iterações pelo método regula falsi, a aproximação da raiz é
x\approx 0{,}33814.

Exercícios relacionados