Localize a raiz da função f dada por
f(x)=x^{10}-1com aproximações iniciais x_{1}=0 e x_{2}=1,3, usando os seguintes métodos:
(a) O método de bissecção (quatro iterações).

Passo 1

O enunciado pede pra localizar a raiz da função
f(x)=x^{10}-1
no intervalo inicial [x_{1},x_{2}]=[0,\,1,3] usando o método da bissecção, fazendo quatro iterações. O conteúdo é o método da bissecção, que consiste em dividir o intervalo ao meio, avaliar o sinal de f no ponto médio e escolher o subintervalo onde ocorre troca de sinal.

Passo 2

Na primeira iteração, calculamos o ponto médio
c_{1}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=\frac{0+1,3}{2}=0,65.
Em seguida, avaliamos
f(c_{1})=(0,65)^{10}-1\approx0,01346-1=-0,98654<0.
Como f(x_{1})=f(0)=-1<0 e f(c_{1})<0, a mudança de sinal fica entre c_{1} e x_{2}. O novo intervalo é
[x_{1},x_{2}]=[0,65,\,1,3].

Passo 3

Na segunda iteração, o novo ponto médio é
c_{2}=\frac{0,65+1,3}{2}=0,975.
Avaliação:
f(c_{2})=(0,975)^{10}-1\approx0,776-1=-0,224<0.
Como f(c_{2})<0 e f(1,3)>0, mantemos o subintervalo onde há mudança de sinal em
[x_{1},x_{2}]=[0,975,\,1,3].

Passo 4

Na terceira iteração,
c_{3}=\frac{0,975+1,3}{2}=1,1375,
e
f(c_{3})=(1,1375)^{10}-1\approx3,622-1=2,622>0.
Agora f(c_{3})>0 e f(0,975)<0, então o novo intervalo é
[x_{1},x_{2}]=[0,975,\,1,1375].

Passo 5

Na quarta iteração,
c_{4}=\frac{0,975+1,1375}{2}=1,05625,
e
f(c_{4})=(1,05625)^{10}-1\approx1,736-1=0,736>0.
Como f(c_{4})>0 e f(0,975)<0, ficamos com
[x_{1},x_{2}]=[0,975,\,1,05625].

Passo 6

Após quatro iterações, o intervalo que contém a raiz é
[0,975,\,1,05625],
e a aproximação pelo último ponto médio é
c_{4}=1,05625.

Resposta

Após quatro iterações pelo método da bissecção, a raiz de f(x)=x^{10}-1 está localizada no intervalo
[0,975,\,1,05625]
e a aproximação da raiz é
x\approx1,05625.

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