Resolva as equações abaixo:
z^5=32

Passo 1

Beleza! O enunciado pede pra resolver a equação
z^5 = 32
Isso faz parte de números complexos, mais especificamente de como achar raízes -ésimas de um número real (aqui ).
O que a gente vai precisar:
  1. Escrever em forma polar (ou trigonométrica),
  2. Usar a fórmula geral de raízes -ésimas de um complexo,
  3. Mostrar todas as soluções.

Passo 2

Primeiro, coloca 32 = 32 ,l(cos 0 + isin 0r) = 32,e^icdot 0 em forma polar. Como é real e positivo, ele tem módulo e argumento .
Então a gente escreve

Passo 3

A fórmula das raízes zk = raiz[n]r;exp!l(i,theta + 2pi knr), k = 0,1,dots,n-1 -ésimas de raiz[5]r = raiz[5]32 = 2, é
Aqui , , . Então
e os ângulos vão ser
.

Passo 4

Substituindo na fórmula, as zk = 2 exp!l(i,2pi k5r) = 2l[cos!l(tfrac2pi k5r) + isin!l(tfrac2pi k5r)r], k = 0,1,2,3,4 soluções são

Resposta

As soluções de boxedzk = 2exp!l(i,tfrac2pi k5r) = 2l[cos(tfrac2pi k5) + i,sin(tfrac2pi k5)r], k=0,1,2,3,4 são

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