Determine o resto da divisão de 3^{2022} por 47.

Passo 1

O enunciado pede o resto da divisão de 3^{2022} por 47. Isso é um problema de exponenciação modular, onde vamos usar o Pequeno Teorema de Fermat e técnicas de redução de expoente para simplificar o cálculo.

Passo 2

Pelo Pequeno Teorema de Fermat, se p é primo e \gcd(a,p)=1, então
a^{p-1}\equiv1\pmod p.
Aqui p=47 e a=3, logo
3^{46}\equiv1\pmod{47}.

Passo 3

Podemos reduzir o expoente 2022 módulo 46:
2022 = 46\cdot43 + 44,
ou seja,
2022 \equiv 44 \pmod{46}.
Portanto
3^{2022}\equiv 3^{44}\pmod{47}.

Passo 4

Para calcular 3^{44}\bmod47, note que
3^{44} = \bigl(3^5\bigr)^8 \cdot 3^4.
Primeiro calculemos
3^5 = 243 \equiv 243 - 5\cdot47 = 243 -235 = 8 \pmod{47},
e
3^4 = 81 \equiv 81 - 1\cdot47 = 34 \pmod{47}.

Passo 5

Agora (3^5)^8 \equiv 8^8\pmod{47}. Usando quadraturas:
8^2 = 64 \equiv 64 - 1\cdot47 = 17,
8^4 = 17^2 = 289 \equiv 289 - 6\cdot47 = 289 -282 = 7,
8^8 = 7^2 = 49 \equiv 49 - 1\cdot47 = 2.
Logo
3^{44} \equiv 8^8 \cdot 34 \equiv 2 \cdot 34 = 68 \equiv 68 - 1\cdot47 = 21 \pmod{47}.

Resposta

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