Prove que
- 1 é divisível por 1001.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
Aqui usamos teoria de divisibilidade e aritmética modular, mais precisamente o Teorema de Fermat e o Princípio do Resto Chinês.
Passo 2
Note que
Para concluir que
divide
, basta provar que cada um de
,
e
divide
, pois são primos distintos.
Passo 3
Verificação módulo 7.
Primeiro, . Logo
Primeiro,
Como
é primo, pelo Teorema de Fermat
. Além disso,
é par, então
.
Logo
Logo
ou seja,
.
Passo 4
Verificação módulo 11.
Calculamos . Assim
Calculamos
Como
é primo, pelo Teorema de Fermat
. E
, então
Logo
ou seja,
.
Passo 5
Verificação módulo 13.
Temos . Portanto
Temos
Logo
ou seja,
.
Passo 6
Como mostramos que
e
,
,
são primos distintos, pelo Princípio do Resto Chinês concluímos que
Resposta
Portanto,
é divisível por
.