Determine o resto da divisão de 5^{2022} por 42.

Passo 1

O enunciado pede o resto da divisão de 5^{2022} por 42. O conteúdo que vamos usar é Teorema de Euler (ou Fermat) e o Método do Resto Chinês (CRT).

Passo 2

Primeiro, fatoramos o divisor e aplicamos CRT. Como
42 = 2 \times 3 \times 7,
iremos achar simultaneamente
r_2 \equiv 5^{2022}\pmod{2},\quad r_3 \equiv 5^{2022}\pmod{3},\quad r_7 \equiv 5^{2022}\pmod{7},
e então encontrar r módulo 42 que satisfaça esses três sistemas.

Passo 3

Cálculo dos restos em módulo 2 e 3:
Para módulo 2:
5\equiv1\pmod{2} \quad\Longrightarrow\quad 5^{2022}\equiv1^{2022}\equiv1\pmod{2},
logo r_2=1.
Para módulo 3:
5\equiv2\pmod{3},
e como \varphi(3)=2, temos
2^{2022}\equiv2^{2022\!\bmod\!2}\equiv2^0\equiv1\pmod{3},
logo r_3=1.

Passo 4

Cálculo do resto em módulo 7: \varphi(7)=6, e
5^{2022} = \bigl(5^6\bigr)^{337}\times5^0 \equiv1^{337}\times1\equiv1\pmod{7},
pois 2022=6\cdot337. Assim r_7=1.

Passo 5

Agora temos o sistema
r\equiv1\pmod{2},\quad r\equiv1\pmod{3},\quad r\equiv1\pmod{7}.
Como os três restos são iguais a 1, o CRT garante que
r\equiv1\pmod{\operatorname{lcm}(2,3,7)}\equiv1\pmod{42}.

Resposta

O resto da divisão de 5^{2022} por 42 é 1.

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