Determine a reta que melhor aproxima f(x)=cos (x) em [0,3] no sentido dos mínimos quadrados. Isto é:
(a) calcule a matriz do sistema de equações normais;

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar a reta
p(x)=a+bx
que melhor aproxima f(x)=cos(x) no intervalo [0,3] pelo critério dos mínimos quadrados.
Isso significa que a gente vai montar as equações normais do problema de ajuste linear, que vêm de projetar cos(x) no espaço gerado pelas funções base 1 e x.
Pra isso, precisamos calcular os seguintes integrais:
integral0^31,dx, integral0^3x,dx, integral0^3x^2,dx
Esses vão formar a matriz dos coeficientes do sistema normal.

Passo 2

Vamos calcular cada integral:
integral0^31,dx = [x]0^3 = 3
integral0^3x,dx = l[x^22r]0^3 = 92
integral0^3x^2,dx = l[x^33r]0^3 = 273 = 9

Pronto! Esses três valores formam a matriz simétrica dos coeficientes das equações normais:
$$
integral0^31cdot1,dx & integral0^31cdot x,dx [6pt] integral0^3xcdot1,dx & integral0^3xcdot x,dx = 3 & tfrac92 [4pt] tfrac92 & 9

.
$$

Resposta

A matriz do sistema de equações normais é
3 & tfrac92 tfrac92 & 9

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