Determine a reta que melhor aproxima f(x)=cos (x) em [0,3] no sentido dos mínimos quadrados. Isto é:
(b) calcule o vetor do sistema de equações normais utilizando quadratura de Gauss com 2 pontos;

Passo 1

Beleza, então o enunciado pede pra gente montar as chamadas equações normais de um ajuste linear por mínimos quadrados em no intervalo , e aí, mais especificamente na alínea (b), calcular o vetor do lado direito desse sistema usando quadratura de Gauss de 2 pontos.
Conteúdo que vamos precisar:
  • Como montar as equações normais para um ajuste .
  • Noção de integrais definidas (aqui substituídas por aproximação via quadratura de Gauss).
  • Fórmula de transformação de pontos de Gauss de para .

Passo 2

Primeiro, lembrar que para ajustar integral0^3 1,dx & integral0^3 x,dx [6pt] integral0^3 x,dx & integral0^3 x^2,dx a b = integral0^3 cos(x),dx [6pt] integral0^3 xcos(x),dx a uma função integral0^3 1,dx = 3, integral0^3 x,dx = 3^22 = 4.5, integral0^3 x^2,dx = 3^33 = 9 em pelos mínimos quadrados, escrevemos o sistema
[

.
]
Os dois primeiros integrandos (da matriz) a gente já conhece de cabeça:
Então a matriz já está pronta; falta aproximar o vetor de integrais com .

Passo 3

Quadratura de Gauss de 2 pontos em integral-1^1 g(t),dt approx g!l(-tfrac1raiz3r) + g!l(tfrac1raiz3r) diz que
x = 0+32 + 3-02,t = 1.5 + 1.5,t, dx = 1.5,dt
Para usar em integral0^3 h(x),dx = integral-1^1 hl(1.5+1.5tr),1.5,dt approx 1.5l[h(x1)+h(x2)r], , fazemos a troca de variável
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com .

Passo 4

Vamos montar as duas integrais do vetor:
  1. x1 = 1.5 - 1.5raiz3approx0.63397, x2 = 1.5 + 1.5raiz3approx2.36603 .
  2. cos(x1)approx0.805, cos(x2)approx -0.714, .
Os pontos são
I1 approx 1.5l(0.805 - 0.714r) = 1.5cdot0.091 = 0.1365,
Calculando numericamente (aprox.):
x1cos(x1)approx0.634cdot0.805=0.511, x2cos(x2)approx2.366cdot(-0.714)=-1.689,
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I2 approx 1.5,(0.511 -1.689) = 1.5cdot(-1.178) = -1.767
e para :

Resposta

O vetor do lado direito do sistema de equações normais (aproximado pela quadratura de Gauss 2 pontos) é
integral0^3cos(x),dx [6pt] integral0^3 xcos(x),dx approx 0.1365 [3pt] -1.767

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