Seja a superfície de nível 0 de .
Em quais pontos de o plano tangente é paralelo ao plano
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz que temos a superfície de nível zero
e quer saber em que pontos de o plano tangente é paralelo ao plano .
Conteúdo que usamos: superfícies de nível, gradiente de uma função e plano tangente, além de condição de paralelismo de planos (os vetores normais têm que ser múltiplos).
Passo 2
Pra começar, lembra que para uma superfície de nível , o vetor normal ao plano tangente em um ponto é o gradiente
No nosso caso
logo
Passo 3
Queremos que o plano tangente em seja paralelo a , cujo vetor normal é
Planos paralelos têm vetores normais proporcionais, ou seja, existe um escalar tal que
Isso dá o sistema
Da primeira equação vem .
Da segunda, .
Da terceira, .
Passo 4
Só resta impor que x^2+y^2-z^2-4=0 está em lambda^2+(5lambda)^2-(-3lambda)^2-4 =lambda^2+25lambda^2-9lambda^2-4 =17lambda^2-4=0 , ou seja