Seja S a superfície de nível 0 de g(x, y, z)=x^2+y^2-z^2-4.
Em quais pontos de S o plano tangente é paralelo ao plano pi: 2 x+ 10 y+6 z=0

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que temos a superfície de nível zero
S:;g(x,y,z)=x^2+y^2-z^2-4=0
e quer saber em que pontos de o plano tangente é paralelo ao plano .
Conteúdo que usamos: superfícies de nível, gradiente de uma função e plano tangente, além de condição de paralelismo de planos (os vetores normais têm que ser múltiplos).

Passo 2

Pra começar, lembra que para uma superfície de nível nabla g=(partialx g,partialy g,partialz g), o vetor normal ao plano tangente em um ponto partialx g=2x, partialy g=2y, partialz g=-2z, é o gradiente
nabla g(x,y,z)=(2x,,2y,,-2z)
No nosso caso
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Passo 3

Queremos que o plano tangente em npi=(2,,10,,6) seja paralelo a nabla g(x,y,z)=lambda,(2,10,6), cujo vetor normal é
2x=2lambda, 2y=10lambda, -2z=6lambda
Planos paralelos têm vetores normais proporcionais, ou seja, existe um escalar tal que
Isso dá o sistema
Da primeira equação vem .
Da segunda, .
Da terceira, .

Passo 4

Só resta impor que x^2+y^2-z^2-4=0 está em lambda^2+(5lambda)^2-(-3lambda)^2-4 =lambda^2+25lambda^2-9lambda^2-4 =17lambda^2-4=0 , ou seja
17lambda^2=4 Longrightarrow lambda^2=417 Longrightarrow lambda=pm2raiz17
Substituindo , , ,
Então

Passo 5

Agora, para cada valor de x=lambda, y=5lambda, z=-3lambda achamos o ponto:
l(tfrac2raiz17,,tfrac10raiz17,,-tfrac6raiz17r)
Para l(-tfrac2raiz17,,-tfrac10raiz17,,tfrac6raiz17r) :
Para :

Resposta

Os pontos de l(tfrac2raiz17,,tfrac10raiz17,,-tfrac6raiz17r) e l(-tfrac2raiz17,,-tfrac10raiz17,,tfrac6raiz17r) em que o plano tangente é paralelo a são

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